Per concludere forse si può procedere in questo modo:
Poniamo [tex]A_n=nS_n[/tex] dimostriamo i seguenti fatti:
1) [tex]\forall n \in \mathbb{N}\ A_n \ge 1/2[/tex]
2) [tex]\forall n \in \mathbb{N}\ A_{n+1} \ge A_n[/tex]
dim 1) Per induzione su [tex]n \in \mathbb{N}[/tex]:
pb. [tex]A_2=4\sum_{k=3}^{+\infty}\frac{1}{k!}=2\left(2e-5\right) \ge 1/2\ \iff e \ge 21/8[/tex]
pI. [tex]A_{n+1}=\left(n+1\right)S_{n+1}=\left(n+1\right)\left[\left(n+1\right)S_n-1\right][/tex] applicando l'ipotesi induttiva si ottiene:
[tex]A_{n+1} \ge \left(n+1\right)\left[1/2\left(n+1\right)-1\right]=1/2\left(n^2-1\right) \ge 1/2[/tex] ovvero [tex]\iff n \ge 2[/tex]
dim 2) Per induzione su [tex]n \in \mathbb{N}[/tex]:
pb. [tex]A_2=2\left(2e-5\right) \ge e-2=A_1\ \iff e \ge 8/3[/tex]
pI. [tex]A_{n+1}=\left(n+1\right)\left[\left(n+1\right)S_n-1\right] \ge A_n=n^2S_{n-1} - n[/tex] è vera se dimostro [tex]A_n=nS_n \ge 1/2\left(1-S_n\right)[/tex]
ma [tex]A_n \ge 1/2 \ge 1/2\left(1-S_n\right)[/tex] e con questo si conclude la dimostrazione del punto 2.
3) Per il teorema delle successioni monotone [tex]A_n[/tex] ha limite.
4) Supponiamo per assurdo [tex]\lim_{n \to +\infty}A_n=l<1[/tex]
Allora [tex]\lim_{n \to +\infty}\left(S_n-S_{n+1}\right)n\left(n+1\right)=\lim_{n \to +\infty}\left(1-A_n\right)n\left(n+1\right)[/tex] esiste ed è [tex]+\infty[/tex]
Ma allora per Stolz-Cesàro anche [tex]\lim_{n \to +\infty}\frac{S_n}{1/n}=\lim_{n \to +\infty}A_n=+\infty[/tex] e questo è assurdo perché abbiamo supposto che fosse [tex]\lim_{n \to +\infty}A_n=l<1[/tex]
Un altro modo potrebbe essere quello di studiare la successione definita per ricorrenza:
[tex]\begin{cases}A_{n+1}=\left(n+1\right)\left[A_n\left(1+1/n\right)-1\right] \\ A_1=e-2 \end[/tex]
Dovresti arrivare alla stessa conclusione!
