esercizio molto particolare sulle serie numeriche

[matematico86]

Mi servirebbe aiuto con un esercizio sulle serie numeriche, che ha dato dei grattacapi anche a matematici esperti. La traccia dell'esercizio la metto in allegato
La difficoltà sta proprio nel fatto che le due successioni devono necessariamente essere decrescenti. Per quanto mi sforzi non riesco a trovare due successioni che soddisfino tale richiesta. Ringrazio tutti quelli che mi vorrano aiutare, non so più a chi chiedere

[matematico86]

professor Gobbino, lei saprebbe dirmi come risolvere questo esercizio?

[Massimo Gobbino]

Eheh, questo è un grande classico, e si può anche rendere un pelino più difficile richiedendo che le sue successioni siano decrescenti.

[+] Fonte

Era in una short list della IMO in Giappone .

[matematico86]

si infatti mi riferisco proprio al richiedere che le due successioni siano decrescenti, perchè senza quella richiesta sono in grado di trovare tranquillamente le due successioni

[Massimo Gobbino]

Un primo aiutino, per quanto in apparenza controcorrente, potrebbe essere dire che

[+] Si_può_fare_di_più

Si può anche costruire l'esempio in modo che sia

\(\min\{a_n,b_n\}=\dfrac{1}{n!}\)

o qualunque successione con serie convergente a nostra scelta!

[matematico86]

nel caso in cui le due successioni non debbano necessariamente essere decrescenti possiamo considerare a_n=1+(-1)^n+1/n^2 e
b_n=1+(-1)^(n+1)+1/n^2.
In questo caso le serie di a_n e b_n sono divergenti e il minimo tra a_n e b_n vale 1/n^2, quindi la serie minimo è convergente. Però il problema è che non so come scegliere due successioni decrescenti che soddisfino tale richiesta

[Massimo Gobbino]

Le due successioni si devono "scambiare", ma sempre più lentamente.

[+] Trucco_Scambio_Lento

All'inizio per un po' \(a_n\) vale 12, mentre \(b_n\) segue il valore previsto per il minimo. Tutto questo prosegue fino a quando la somma parziale sulle \(a_n\) è arrivata a 1000. A quel punto avviene lo scambio: \(a_n\) inizia a seguire il minimo, mentre \(b_n\) resta costante al valore che aveva al momento dello scambio. Magari questo valore è piccolo, ma se lo tiene a lungo la sua somma parziale nel frattempo arriva pure lei a 1000. A questo punto nuovo scambio, con le \(a_n\) che puntano a somme parziali 2000, e così via.

Con questo stesso trucco si fanno dei giochetti spettacolari!

[matematico86]

la ringrazio per la sua risposta, penso di aver capito il suo ragionamento. Adesso come a faccio a scrivere analiticamente le due successioni?

[Massimo Gobbino]

Adesso come a faccio a scrivere analiticamente le due successioni?

E perché dovresti? E soprattutto, cosa vuol dire "scrivere analiticamente"? Non vorrai mica una "formula", magari che usi pure solo le funzioni "elementari"? E quali sarebbero poi le funzioni "elementari"? Forget it!

Quello che si può fare è definire per ricorrenza la successione dei punti di switch (cioè i valori interi in cui avvengono gli scambi), e poi a quel punto definire \(a_n\) e \(b_n\) tratto per tratto.

A dir la verità a posteriori si potrebbe pure avere un formulone per i punti di switch, ma a che serve?

[Massimo Gobbino]

Adesso come a faccio a scrivere analiticamente le due successioni?

E perché dovresti? E soprattutto, cosa vuol dire "scrivere analiticamente"? Non vorrai mica una "formula", magari che usi pure solo le funzioni "elementari"? E quali sarebbero poi le funzioni "elementari"? Forget it!

Quello che si può fare è definire per ricorrenza la successione dei punti di switch (cioè i valori interi in cui avvengono gli scambi), e poi a quel punto definire \(a_n\) e \(b_n\) tratto per tratto.

A dir la verità a posteriori si potrebbe pure avere un formulone per i punti di switch, ma a che serve?

[matematico86]

con analiticamente intendo di definire a_n a cosa è uguale e b_n a cosa è uguale, poichè nell'esercizio è richiesto di determinare esplicitamente le due successioni.