Serie parametrica da esame

[Valerio]

\(\displaystyle\sum x^n \sqrt{1-n\sin\dfrac{1}{n}}\)

Data questa serie è richiesto di determinare i valori di x reale per cui converge. Sotto alla radice nsin(1/n) è un limite notevole e sottratto all'1 garantisce la condizione necessaria. Non riesco tuttavia ad imboccare la strada giusta per risolvere questo problema utilizzando i criteri . Qulcuno può darmi qualche consiglio?

[Massimo Gobbino]

Beh, intanto non ho capito bene il discorso della condizione necessaria ... che succede, ad esempio, per x=7 ?

[Valerio]

Beh, intanto non ho capito bene il discorso della condizione necessaria ... che succede, ad esempio, per x=7 ?

Immagino che la serie diverga in quanto l'idea è che a parte quel termine con la radice e l'n tra 1 e + infinito anzichè tra 0 e + infinito abbiamo a che fare con una serie geometrica.

[Federico.M]

Ciao, prova a riguardare la lezione 69 di AM1.... Forse c'è un suggerimento utile per risolvere l'esercizio...

[Massimo Gobbino]

Non mi è chiaro a quale anno si riferisca Federico.M.

In ogni caso, cosa ci dice Taylor sull'argomento della radice?

[Federico.M]

L'anno a cui facevo riferimento è il 2014/2015.
Taylor dice che l'argomento della radice, per n che tende all'infinito, si comporta come 1 su n al quadrato..

[Massimo Gobbino]

Taylor dice che l'argomento della radice, per n che tende all'infinito, si comporta come 1 su n al quadrato..

esatto, quindi la serie, almeno per x positivi, va confrontata asintoticamente con ...

[Federico.M]

va confrontata asintoticamente con 1/n ???

[Massimo Gobbino]

va confrontata asintoticamente con 1/n ???

No, con la serie di

\(\dfrac{x^n}{n}\)

[Federico.M]

Quindi è sufficiente stabilire il comportamento della serie x alla n fratto n, ad esempio con il criterio della radice, per determinare il comportamento della serie data....

[Massimo Gobbino]

Potenza del confronto asintotico

[Valerio]

\(x^n/n\) è a segno variabile quando x è negativo. Dunque in questo caso si dovrebbe riuscire a scriverla furbamente con un \((-1)^n\) davanti e procedere con il criterio di Leibnitz.

[Massimo Gobbino]

O ancora meglio per assoluta convergenza.

Se poi si vuole proprio esagerare, si può anche richiamare la teoria delle serie di potenze.