AM1 2010/2011 - Videolezione 043

[Jk_r]

Salve Professore,

Al minuto 42:00 lei fa l'esempio della serie:
(n^5 - n^2 + 3) / (n^7 - n^a - 5)
con a parametro e stabilire per quali valori di a (nell'insieme dei numeri reali) la serie converge.

Svolgendo l'esercizio dice che la serie converge per ogni valore di a splittando la dimostrazione in due casi (uno in cui a <= 7 e uno in cui a > 7).

A mio avviso il caso a <= 7 dovrebbe essere splittato in altri due sotto-casi:
a > -6 (in cui la serie chiaramente converge)
a < -6 in cui la serie non converge perchè asintoticamente la serie iniziale equivale a:
(n^abs(a)) / (n^7)
ovvero:
1 / n^(7 - abs(a))
e questa converge se e solo se 7 - abs(a) > 1 ovvero se e solo se -abs(a) > 1 - 7 ovvero se e solo se a > -6.
Ma per ipotesi a < -6. Quindi per a < -6 la serie non converge.

Conclusione: la serie iniziale converge se e solo se a > -6.

Volevo dei chiarimenti e capire se il mio ragionamento è corretto.

[Massimo Gobbino]

Prova a mettere esplicitamente \(a=-100\) e vedi un po' che succede

[Jk_r]

Innanzitutto, la ringrazio per la pronta risposta.

Non avevo considerato (mio grave errore) che n^(-100) tendesse a 0 per n che tende a +inf. Quindi asintoticamente parlando, poteva anche essere trascurato in questo caso. Avevo semplicemente portato n^(-100) al numeratore facendolo diventare n^(100). Mentre invece svolgendo i calcoli (mettendo, al denominatore, in evidenza n^(-100)) si può capire che il gap degli esponenti essenzialmente non cambia.

La ringrazio di nuovo e le chiedo di spostare il thread nella sezione più adatta dato che il post in questione tratta di un mio palese errore algebrico anziché di un errore nei suoi contenuti didattici.

[Massimo Gobbino]

Certe volte sostituire qualche valore può essere molto utile negli esercizi parametrici per familiarizzare con il problema.

E poi non preoccuparti per gli errori: e proprio con quelli che uno impara! Quindi, se ne vuoi fare altri, sei sempre il benvenuto

Ora sposto nella sezione dedicata alle serie.