limite

[Studente]

Buongiorno a tutti! Non riesco a risolvere il limite allegato, qualcuno ha qualche idea?
È l'esercizio 7 della scheda Serie 6!

[C_Paradise]

Ciao! Prova a pensare a come puoi stimare:

[tex]S_n=\sum_{k=n+1}^{+\infty} \frac{n!}{k!}[/tex] trovare una maggiorazione non dovrebbe essere un problema direi [tex]S_n \le \frac{1}{n}[/tex] se trovi una minorazione dovresti essere vicino alla soluzione!

[C_Paradise]

Secondo me l'idea da usare è questa, scrivi

[tex]\displaystyle e=\sum_{k=0}^{+\infty} \frac{1}{k!}=\sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k!}+\sum_{k=n+1}^{+\infty} \frac{1}{k!}[/tex]

da cui si ottiene

[tex]\displaystyle n!e=n!\sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k!}+S_n[/tex]

ma adesso

[tex]\displaystyle n!\sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k!}=I_n \in \mathbb{N}[/tex]

quindi

[tex]\displaystyle n\sin\left(2\pi e n!\right)=n\sin\left(2\pi I_n + 2\pi S_n\right)=n\sin\left(2\pi S_n\right)[/tex]

ma [tex]S_n\to 0[/tex], quindi

[tex]\displaystyle \lim_{n \to +\infty}n\sin\left(2\pi e n!\right)=\lim_{n \to +\infty}\frac{\sin\left(2\pi S_n\right)}{S_n} nS_n= 2\pi \lim_{n \to +\infty}nS_n[/tex]

di conseguenza saremmo molto felici se

[tex]\displaystyle \lim_{n \to +\infty}nS_n=1[/tex]

è facile vedere che [tex]\lim_{n \to +\infty}nS_n\le1[/tex].

[EDIT by Massimo Gobbino] Ho cercato di rendere più leggibile il TeX

[C_Paradise]

Grazie! Ho ancora un po' di difficoltà con il TeX

[C_Paradise]

Per concludere forse si può procedere in questo modo:

Poniamo [tex]A_n=nS_n[/tex] dimostriamo i seguenti fatti:

1) [tex]\forall n \in \mathbb{N}\ A_n \ge 1/2[/tex]
2) [tex]\forall n \in \mathbb{N}\ A_{n+1} \ge A_n[/tex]

dim 1) Per induzione su [tex]n \in \mathbb{N}[/tex]:

pb. [tex]A_2=4\sum_{k=3}^{+\infty}\frac{1}{k!}=2\left(2e-5\right) \ge 1/2\ \iff e \ge 21/8[/tex]

pI. [tex]A_{n+1}=\left(n+1\right)S_{n+1}=\left(n+1\right)\left[\left(n+1\right)S_n-1\right][/tex] applicando l'ipotesi induttiva si ottiene:

[tex]A_{n+1} \ge \left(n+1\right)\left[1/2\left(n+1\right)-1\right]=1/2\left(n^2-1\right) \ge 1/2[/tex] ovvero [tex]\iff n \ge 2[/tex]

dim 2) Per induzione su [tex]n \in \mathbb{N}[/tex]:

pb. [tex]A_2=2\left(2e-5\right) \ge e-2=A_1\ \iff e \ge 8/3[/tex]

pI. [tex]A_{n+1}=\left(n+1\right)\left[\left(n+1\right)S_n-1\right] \ge A_n=n^2S_{n-1} - n[/tex] è vera se dimostro [tex]A_n=nS_n \ge 1/2\left(1-S_n\right)[/tex]

ma [tex]A_n \ge 1/2 \ge 1/2\left(1-S_n\right)[/tex] e con questo si conclude la dimostrazione del punto 2.

3) Per il teorema delle successioni monotone [tex]A_n[/tex] ha limite.

4) Supponiamo per assurdo [tex]\lim_{n \to +\infty}A_n=l<1[/tex]

Allora [tex]\lim_{n \to +\infty}\left(S_n-S_{n+1}\right)n\left(n+1\right)=\lim_{n \to +\infty}\left(1-A_n\right)n\left(n+1\right)[/tex] esiste ed è [tex]+\infty[/tex]

Ma allora per Stolz-Cesàro anche [tex]\lim_{n \to +\infty}\frac{S_n}{1/n}=\lim_{n \to +\infty}A_n=+\infty[/tex] e questo è assurdo perché abbiamo supposto che fosse [tex]\lim_{n \to +\infty}A_n=l<1[/tex]


Un altro modo potrebbe essere quello di studiare la successione definita per ricorrenza:

[tex]\begin{cases}A_{n+1}=\left(n+1\right)\left[A_n\left(1+1/n\right)-1\right] \\ A_1=e-2 \end[/tex]

Dovresti arrivare alla stessa conclusione!

[C_Paradise]

In realtà tutto questo non ti serve se usi "o-piccolo" su Sn=1/(n+1) + o(1/n)..