Una curiosita' su Ramanujan.

[MrCristoff]

http://www.matematicamente.it/storia/Ra ... matico.pdf

Alla ricerca di qualche spiegazione su questo strano risultato!

[GIMUSI]

http://www.matematicamente.it/storia/Ra ... matico.pdf

Alla ricerca di qualche spiegazione su questo strano risultato!

che personaggio incredibile...un vero mistero

[Massimo Gobbino]

Alla ricerca di qualche spiegazione su questo strano risultato!

In un momento di tranquillità, provo a dire qualcosa su questo risultato. Per ulteriori informazioni, basta cercare "zeta di Riemann" e farsi una cultura sull'argomento.

Volendo essere terra-terra, tutto parte dalla serie armonica generalizzata:

[tex]\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^\alpha}[/tex]

Volendo questa formula, pensata come funzione di [tex]\alpha[/tex], definisce una funzione [tex]f(\alpha)[/tex], o volendo anche [tex]\zeta(s)[/tex], se si indica il parametro con la lettera [tex]s[/tex], come si fa di solito, e la funzione con la lettera [tex]\zeta[/tex], da cui appunto il nome di "funzione zeta". Tuttavia, per restare terra-terra, continueremo a chiamarla [tex]f(\alpha)[/tex].

Per quali valori di [tex]\alpha[/tex] è definita questa funzione? Beh, per uno che sta facendo analisi 1 la risposta è immediata: per [tex]\alpha>1[/tex]. Sapendo oltre ad analisi 1 un minimo sui numeri complessi, non è difficile vedere che la cosa si estende bene anche se [tex]\alpha[/tex] è un numero complesso con parte reale maggiore di 1. Tuttavia, volendo il discorso si può fare anche ignorando i numeri complessi.

Chi sa bene analisi 1, al punto da saper confrontare le serie con gli integrali, saprà che [tex]f(\alpha)\to+\infty[/tex] per [tex]\alpha\to 1^+[/tex] e con un minimo sforzo arriverà pure a dimostrare che lo fa come [tex]\dfrac{1}{\alpha-1}[/tex] (e qui ogni riferimento alla primitiva di [tex]x^{-\alpha}[/tex] è puramente casuale).

Tutti questi discorsi fanno venire voglia di porre

[tex]f(\alpha)=\dfrac{1}{\alpha-1}+g(\alpha)[/tex]

e chiedersi come si comporta la funzione [tex]g(\alpha)[/tex]. E qui c'è la sorpresona (teoremone): [tex]g(\alpha)[/tex] è una funzione che ha una bella serie di Taylor

[tex]\displaystyle g(\alpha)=\sum_{n=0}^{\infty}c_n(1-\alpha)^n[/tex]

la quale, udite udite, converge per ogni [tex]\alpha[/tex] reale (e pure complesso). Detto altrimenti, [tex]f(\alpha)[/tex] è somma di potenze di [tex]1-\alpha[/tex] a partire dall'esponente -1, e proprio il termine con esponente -1 è la causa dei problemi della funzione in 1. Fuori da 1, però, problemi non ce ne sono, quindi ha senso considerare il valore di [tex]f(\alpha)[/tex] per ogni [tex]\alpha[/tex] (reale o complesso) diverso da 1. Per gli [tex]\alpha[/tex] maggiori di 1 continua ad essere la somma della serie armonica generalizzata, per i restanti valori sarà qualcos'altro, legato in maniera misteriosa alla serie (che per gli altri valori del parametro diverge).

Ora si può dimostrare che [tex]f(\alpha)[/tex], estesa come abbiamo detto, vale -1/12 in -1, che è il risultato da cui siamo partiti. Ovviamente, come appena detto, questo non vuol dire che la serie converge a -1/12 quando metto il parametro uguale a -1, ma solo che un qualche fantasma della serie sopravvive e vorrebbe fare -1/12, se potesse .

[GIMUSI]

segnalo questa playlist che approfondisce un po' il tema della funzione zeta di riemann...mi sembra interessante e ben fatto

https://www.youtube.com/playlist?list=P ... DD4DA932C9