Serie : considerazioni e osservazioni

[Noisemaker]

[tex]\mbox{Studiare il carattere della seguente serie}[/tex]

[tex]\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} \,\,\sin\frac{\pi}{2n+3}[/tex]

Anzitutto cominiciamo con lo stabilire se si tratta di una serie a termini positivi o meno; per fare ciò, consideriamo la successione:

[tex]\displaystyle a_n=\frac{\pi}{2n+3}[/tex]

esplicitando alcuni termini

[tex]\displaystyle a_1=\frac{\pi}{5},\,\, a_2=\frac{\pi}{7},\,\, a_3=\frac{\pi}{9},\,\,\, ...[/tex]

osserviamo che:

[tex]\displaystyle a_1> a_2>a_3 > ...>a_{n-1}>a_n>...[/tex]

e dunque la successione risulta decrescente e convergente a zero; allora si ha che

[tex]\displaystyle 0<a_n\le \frac{\pi}{5} \quad \to \quad \inf a_n=0, \quad \to \quad \sup a_n=\max a_n= \frac{\pi}{5}[/tex]

La successione [tex]a_n[/tex] risulta dunque limitata e a termini positivi; osservando che [tex]\displaystyle 0<a_n\le \frac{\pi}{5}<\pi[/tex], e ricordando che
[tex]\sin x >0 \quad \Leftrightarrow \quad 0 \le x\le \pi +k\pi[/tex]

il termine generale della serie data risulterà certamente a termini positivi; allora possiamo considerarne il comportamento assintotico:

[tex]\displaystyle \sin\frac{\pi}{2n+3}\sim \frac{\pi}{2n+3}\sim\frac{1}{n} \to \mbox{diverge}[/tex]

Allora si conclude che la serie data diverge per confronto con la serie armonica.

[tex]\mbox{CONSIDERAZIONI}[/tex]

Supponiamo di non aver osservato la positività del termine generale della serie, presi dall'ansia d'esame o da un approcio meccanico al problema; allora saremmo giunti alla conclusione che essendo variabile il segno della funzione [tex]\sin x[/tex], il termine generale della serie risulta di segno non costante, e quindi avremmo dovuto considerare il valore assoluto del termine generale; allora

[tex]\displaystyle \left|\sin\frac{\pi}{2n+3} \right|[/tex]

essendo ora in presenza di una serie il cui termine generale è di segno costantemente positivo, possiamo applicare il criterio asintotico:

[tex]\displaystyle \left|\sin\frac{\pi}{2n+3}\right|\sim \left|\frac{\pi}{2n+3}\right|=\frac{\pi}{2n+3}\sim\frac{1}{n} \to \mbox{diverge}[/tex]

la serie risulta quindi assolutamente divergente, e questo non ci consente di concludere nulla circa la convergenza o la divergenza. Bisogna seguire un altra via per determinare il carettere della seri; sappiamo che una serie converge o diverge se lo è la successione delle somme parziali: consideriamo allora le somme parziali:

[tex]\displaystyle S_1 =\sin\frac{\pi}{5}\sim 0.58[/tex]

[tex]\displaystyle S_2 =\sin\frac{\pi}{5}+\sin\frac{\pi}{7}\sim 1.02[/tex]

[tex]\displaystyle S_3 =\sin\frac{\pi}{5}+\sin\frac{\pi}{7}+\sin\frac{\pi}{9}\sim 1.36[/tex]

[tex]\displaystyle S_4 =\sin\frac{\pi}{5}+\sin\frac{\pi}{7}+\sin\frac{\pi}{9}+\sin \frac{\pi}{11}\sim 1.64[/tex]

[tex]\displaystyle S_5 =\sin\frac{\pi}{5}+\sin\frac{\pi}{7}+\sin\frac{\pi}{9}+\sin \frac{\pi}{11} + \sin\frac{\pi}{13}\sim 1.88[/tex]

[tex]\displaystyle S_6 =\sin\frac{\pi}{5}+\sin\frac{\pi}{7}+\sin\frac{\pi}{9}+\sin \frac{\pi}{11} +\sin \frac{\pi}{13} +\sin \frac{\pi}{15}\sim 2.09[/tex]

[tex]\displaystyle S_7 =\sin\frac{\pi}{5}+\sin\frac{\pi}{7}+\sin\frac{\pi}{9}+\sin \frac{\pi}{11} +\sin \frac{\pi}{13} +\sin \frac{\pi}{15} +\sin \frac{\pi}{17}[/tex] [tex]\sim 2.27[/tex]

[tex]\displaystyle S_8 =\sin\frac{\pi}{5}+\sin\frac{\pi}{7}+\sin\frac{\pi}{9}+\sin \frac{\pi}{11} + \sin\frac{\pi}{13} + \sin\frac{\pi}{15} + \sin\frac{\pi}{17}+[/tex] [tex]\sin \displaystyle\frac{\pi}{19}\sim 2.44[/tex]

[tex]\displaystyle S_9 =\sin\frac{\pi}{5}+\sin\frac{\pi}{7}+\sin\frac{\pi}{9}+ \sin\frac{\pi}{11} +\sin \frac{\pi}{13} +\sin \frac{\pi}{15} + \sin\frac{\pi}{17}+[/tex][tex]\displaystyle \sin\frac{\pi}{19}+\sin\frac{\pi}{21}\sim 2.59[/tex]

[tex]\displaystyle S_{10} =\sin\frac{\pi}{5}+\sin\frac{\pi}{7}+\sin\frac{\pi}{9}+ \sin\frac{\pi}{11} +\sin \frac{\pi}{13} +\sin \frac{\pi}{15} + \sin\frac{\pi}{17} +[/tex] [tex]\displaystyle \sin\frac{\pi}{19}+ \sin\frac{\pi}{21} + \sin\frac{\pi}{23} \sim 2.72[/tex]

e ciò che possiamo osservare è che la successione delle somme parziali risulta monotona crescente (naturalmente) ed illimitata superiormente, poichè si sommano man man addendi sempre più grandi, e dunque tenderà al proprio estremo superiore, che risulta essere [tex]+\infty[/tex] e dunque la serie risulta divergente.

[Massimo Gobbino]

Calcolando un po' di termini ed un po' di somme parziali ci si può fare un'idea di come stanno andando le cose, ma non si dimostra assolutamente nulla. La dimostrazione buona è quella prima delle considerazioni.

Per mostrare che la serie è a termini definitivamente positivi (basta definitivamente per applicare i criteri) non basta, e non serve, calcolare un po' di termini. Basta invece dire che l'argomento del seno tende a [tex]0^+[/tex], quindi definitivamente sta in [tex](0,\pi)[/tex], dove il seno è positivo.