Serie che si trovano nei test

[utente91]

Per favore suggeritimi quale ragionamento usare in queste domande per arrivare alla riposta giusta:
{sqrt(n)an}->+00 allora Serie di an converge;
{2^(n)an}->3 allora Serie di an converge;

Dalla teoria so che La Serie an converge quando la successione(an) tende a zero, in questo caso però alla successione viene aggiunta un'altra variabile che penso cambi il comportamento della serie, ma non so che calcoli devo fare per determinare il comportamento. Aiutoooooooooooo

[Noisemaker]

Se sono queste le domande,

[tex]\displaystyle\sqrt[n]a_n\to+\infty \Rightarrow \mbox {la serie} \sum_{n=1}^{+\infty} a_n \mbox{ converge}[/tex]

[tex]\displaystyle2^na_n\to3 \Rightarrow \mbox {la serie} \sum_{n=1}^{+\infty} a_n \mbox{ converge}[/tex]

Per la prima la risposta è no per il criterio della radice: poichè abbbiamo per ipotesi che

[tex]\displaystyle\lim_{n \to +\infty} \sqrt[n]a_n=+\infty>1 \to\mbox{la serie} \sum_{n=1}^{+\infty} a_n \mbox{ Non converge}[/tex]

nel secondo caso abbiamo:

[tex]\displaystyle\lim_{n \to +\infty} 2^na_n=3[/tex] dunque [tex]\displaystyle a_n\to\frac{3}{2^n} \to \mbox{converge}[/tex]

[Massimo Gobbino]

[tex]\displaystyle\lim_{n \to +\infty} 2^na_n=3[/tex] dunque [tex]\displaystyle a_n\to\frac{3}{2^n} \to \mbox{converge}[/tex]

Brutalmente ci siamo, ma rigorosamente è un orrore (sembra che il limite dipenda da n ...). Per essere rigorosi bisogna fare il confronto asintotico tra [tex]a_n[/tex] e [tex]2^{-n}[/tex].

[Noisemaker]

[tex]\displaystyle\lim_{n \to +\infty} 2^na_n=3[/tex] dunque [tex]\displaystyle a_n\to\frac{3}{2^n} \to \mbox{converge}[/tex]

Brutalmente ci siamo, ma rigorosamente è un orrore (sembra che il limite dipenda da n ...). Per essere rigorosi bisogna fare il confronto asintotico tra [tex]a_n[/tex] e [tex]2^{-n}[/tex].

si ...è vero ...e brutto da vedere tra l'atro anche suscettibile a considerare il limite come un'operazione "ordinaria" ...

piochè

[tex]\displaystyle\lim_{n \to +\infty} 2^na_n=3 \,\,\,\,\mbox{o equivalentemente}\,\,\, \displaystyle\lim_{n \to +\infty} \frac{a_n}{2^{-n}}= 3[/tex]

ovvero la successione [tex]a_n[/tex] è un infinito dello stesso ordine di [tex]\displaystyle\ 3\cdot 2^{-n}}[/tex]

[tex]\displaystyle a_n\sim \frac{3}{2^{n}}\to\mbox{converge}[/tex]

[Massimo Gobbino]

Ora va molto meglio . Detto altrimenti: la serie converge per confronto asintotico con la serie di termine generale [tex]b_n=\dfrac{1}{2^n}[/tex], la quale è una serie geometrica convergente.