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Non so se non sto capendo io o se effettivamente c'è un errore circa al minuto 25:45 stimiamo \(|a_{n-k}| \leq \hat{B}\) e da un'altra stima precedente si ha \(|B_k-B_{\infty}| \leq \frac{1}{2(\hat{B}+1)} \varepsilon\). Dunque la sommatoria "più a sinistra" si dovrebbe stimare come
$$\sum_{k=0}^{m_0} |a_{n-k}| |B_k-B_{\infty}| \leq \sum_{k=0}^{m_0} \frac{\hat{B}}{2(\hat{B}+1)} \varepsilon$$
Ma nel video, sempre se non sbaglio io, si sta omettendo che c'è ancora una sommatoria; dovrebbe rimanere un termine del tipo \(m_0+1\) dato da
$$\sum_{k=0}^{m_0} \frac{\hat{B}}{2(\hat{B}+1)} \varepsilon=\frac{\hat{B}}{2(\hat{B}+1)} \varepsilon \sum_{k=0}^{m_0} 1=\frac{\hat{B}}{2(\hat{B}+1)}(m_0+1)\varepsilon$$
Comunque, se non ho sbagliato, non è troppo rilevante perché il ragionamento funziona comunque grazie all'arbitrarietà di \(\varepsilon>0\), ma credo si stesse cercando di ottenere un \(\varepsilon\) "pulito" come stima dall'alto e quindi a questo punto si potrebbe usare

\(|B_k-B_{\infty}| \leq \dfrac{1}{2(\hat{B}+1)(m_0+1)} \varepsilon\).

Ha senso o sto sbagliando? Grazie!

Uhm, grazie, la segnalazione dell'errore mi sembra corretta. La seconda formula del punto 4 non è corretta perché si tratta della stima sul termine generico e non sulla sommatoria, dunque andrebbe moltiplicata per \(m_0+1\).

Fortunatamente la dimostrazione si corregge, ma per farlo non si può andare ad aggiungere un \(m_0+1\) nel denominatore dell'ultima formula di pagina 2, perché quella disuguaglianza deve essere vera per ogni \(k\geq m_0\) e non si può sperare che una disuguaglianza dipendente da \(m_0\) valga da \(m_0\) in poi (in quel momento stiamo definendo \(m_0\)).

Il modo corretto di procedere mi sembra quello di mettere \(m_0+1\) al denominatore nella seconda riga di pagina 3, quando si sta definendo \(\ell_0\). In quel momento \(m_0\) è già stato fissato dal punto precedente e dunque si può usare senza problemi.

Sono dettagli delicati che fanno la differenza.

Sono d'accordo, ho commesso un typo: intendevo

\(|a_i| \leq \dfrac{1}{2(\hat{B}+1)(m_0+1)} \varepsilon\).

Prego, grazie a lei per il materiale offerto e per la gentilezza di rispondere sul forum anche per cose non relativamente recenti!

Salve professore, scusi se riprendo questa discussione dopo molto tempo ma ristudiando questa dimostrazione mi è venuto un dubbio riguardo a questa sua precisazione

Massimo Gobbino wrote: ↑

Tuesday 15 September 2020, 15:32

perché quella disuguaglianza deve essere vera per ogni \(k \geq m_0\) e non si può sperare che una disuguaglianza dipendente da \(m_0\) valga da \(m_0\) in poi (in quel momento stiamo definendo \(m_0\)).

Cosa intende? Intende forse che, essendo una disuguaglianza un predicato (che può essere vero o falso a seconda dei valori che si assegnano alla/e variabile/i che compaiono all'interno della stessa) non ha senso dal punto di vista logico che una disuguaglianza dipendente da \(m_0\) valga per ogni \(k \geq m_0\) perché quando si richiede che valga per ogni \(k \geq m_0\) si ha che \(m_0\) viene fissato e quindi si ha simultaneamente un oggetto in cui \(m_0\) varia (la disuguaglianza stessa) e uno in cui \(m_0\) è fissato (la disuguaglianza che si richiede essere vera per ogni \(k \geq m_0\))?
Ha senso o sono completamente fuori strada? Grazie.