Salve a tutti,
nella dimostrazione del Teorema di Dini in codim. k si è accennato al fatto che non vale Lagrange per le funzioni a valori vettoriali perchè vale solo componente per componente, quindi nel passaggio di verifica della Lipschitzianità la maggiorazione così com'è non è esatta e andrebbe sistemata cambiando la seconda scelta (lezione 81 a.a 15/16).
Nella seconda scelta si sfruttava la continuità in 0,0 dello Jacobiano parziale (risp. y) della f.
Forse ora bisogna sfruttarne la limitatezza in un intorno di 0,0? così metterei assieme la scelta 1 e la 2.
Qualcuno mi può aiutare ad andare avanti?
Grazie!
Andrea
Teorema della funzione implicita in codim k
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Massimo Gobbino
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Re: Teorema della funzione implicita in codim k
Riecco tornare il Lagrange vettoriale, sul quale forse prima o poi occorrerebbe aprire un topic apposta (se mai rifarò Analisi 2 finirà che ci dedicherò una lezione apposta).
Vediamo il problema in generale: data \(g:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m\) e dati due punti a e b nello spazio di partenza, uno vorrebbe poter concludere che
\(g(b)-g(b)=Jg(c)\cdot(b-a)\)
dove c è un opportuno punto che sta nel segmento di estremi a e b, e il puntino che sta al rhs indica il prodotto di una matrice per un vettore. Se fosse vera questa uno potrebbe concludere che
\(\|g(b)-g(b)\|\leq\|Jg(c)\|\cdot\|(b-a)\|\)
dove intervengono norme di vettori e di matrici in opportuni spazi. Se noi sappiamo che la norma della matrice Jacobiana è limitata da una costante M su tutto il segmento di estremi a e b, questo ci permette di concludere che
\(\|g(b)-g(b)\|\leq M\|(b-a)\|\)
Questa disuguaglianza è poi quella che serve in tante dimostrazioni, comprese quella delle funzioni implicite in codimensione k di cui si sta parlando qui.
Purtroppo, però, il Lagrange come scritto non vale quando m è maggiore di 1 (ma qual è l'esempio? all'esame ultimamente non lo sa mai nessuno
).
Che fare allora? Rinunciare alla disuguaglianza? Non proprio ... ci sono almeno due vie di uscita.
La via facile consiste nell'applicare Lagrange componente per componente. Uno scrive
\(g_i(b)-g_i(b)=\nabla g_i(c_i)\cdot(b-a)\)
dove ora il puntino è un prodotto scalare e l'indice i va da 1 ad m. Con un comodo Cauchy-Schwarz si arriva a
\(\|g_i(b)-g_i(b)\|\leq\|\nabla g_i(c_i)\|\cdot\|(b-a)\|\)
per ogni i che va da 1 ad m. Ora \(\|\nabla g_i(c_i)\|\leq\|Jg(c_i)\|\), e se noi sappiamo che la norma della matrice Jacobiana è limitata da una costante M su tutto il segmento di estremi a e b, questo ci permette di concludere che
\(\|g_i(b)-g_i(b)\|\leq M\|(b-a)\|\)
per ogni indice, da cui calcolando le norme
\(\|g(b)-g(b)\|\leq M\sqrt{m}\|(b-a)\|\)
In altre parole, abbiamo ottenuto una disuguaglianza analoga a quella a cui si arrivava con il Lagrange abusivo, soltanto "pagando" la radice della dimensione dello spazio di arrivo. Tornando alla dimostrazione citata, è forse evidente ora come modificare la seconda scelta tenendo conto della nuova disuguaglianza.
Tuttavia, vale la pena citare una seconda via, che permette di ottenere la stessa disuguaglianza che si aveva con il Lagrange abusivo, cioè
\(\|g(b)-g(b)\|\leq\|Jg(c)\|\cdot\|(b-a)\|\)
per un opportuno c intermedio, senza nemmeno pagare la radice. Qui mi limito a citare l'idea, che è la stessa che si usa nella dimostrazione delle stime per gli integrali vettoriali (vedi apposita lezione), e che si potrebbe chiamare "stima per dualità". Si tratta di partire da un prodotto scalare del tipo
\(v\cdot(g(b)-g(a))\)
dove v è un vettore generico dello spazio di arrivo e il puntino indica il prodotto scalare. Questa è una funzione scalare, alla quale quindi si può applicare il Lagrange vero. Salto i relativi conti, ma alla fine si tratterà di applicare il risultato con v=g(b)-g(a). Se qualcuno ha voglia di completare i dettagli, si senta libero di farlo!
Vediamo il problema in generale: data \(g:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m\) e dati due punti a e b nello spazio di partenza, uno vorrebbe poter concludere che
\(g(b)-g(b)=Jg(c)\cdot(b-a)\)
dove c è un opportuno punto che sta nel segmento di estremi a e b, e il puntino che sta al rhs indica il prodotto di una matrice per un vettore. Se fosse vera questa uno potrebbe concludere che
\(\|g(b)-g(b)\|\leq\|Jg(c)\|\cdot\|(b-a)\|\)
dove intervengono norme di vettori e di matrici in opportuni spazi. Se noi sappiamo che la norma della matrice Jacobiana è limitata da una costante M su tutto il segmento di estremi a e b, questo ci permette di concludere che
\(\|g(b)-g(b)\|\leq M\|(b-a)\|\)
Questa disuguaglianza è poi quella che serve in tante dimostrazioni, comprese quella delle funzioni implicite in codimensione k di cui si sta parlando qui.
Purtroppo, però, il Lagrange come scritto non vale quando m è maggiore di 1 (ma qual è l'esempio? all'esame ultimamente non lo sa mai nessuno
). Che fare allora? Rinunciare alla disuguaglianza? Non proprio ... ci sono almeno due vie di uscita.
La via facile consiste nell'applicare Lagrange componente per componente. Uno scrive
\(g_i(b)-g_i(b)=\nabla g_i(c_i)\cdot(b-a)\)
dove ora il puntino è un prodotto scalare e l'indice i va da 1 ad m. Con un comodo Cauchy-Schwarz si arriva a
\(\|g_i(b)-g_i(b)\|\leq\|\nabla g_i(c_i)\|\cdot\|(b-a)\|\)
per ogni i che va da 1 ad m. Ora \(\|\nabla g_i(c_i)\|\leq\|Jg(c_i)\|\), e se noi sappiamo che la norma della matrice Jacobiana è limitata da una costante M su tutto il segmento di estremi a e b, questo ci permette di concludere che
\(\|g_i(b)-g_i(b)\|\leq M\|(b-a)\|\)
per ogni indice, da cui calcolando le norme
\(\|g(b)-g(b)\|\leq M\sqrt{m}\|(b-a)\|\)
In altre parole, abbiamo ottenuto una disuguaglianza analoga a quella a cui si arrivava con il Lagrange abusivo, soltanto "pagando" la radice della dimensione dello spazio di arrivo. Tornando alla dimostrazione citata, è forse evidente ora come modificare la seconda scelta tenendo conto della nuova disuguaglianza.
Tuttavia, vale la pena citare una seconda via, che permette di ottenere la stessa disuguaglianza che si aveva con il Lagrange abusivo, cioè
\(\|g(b)-g(b)\|\leq\|Jg(c)\|\cdot\|(b-a)\|\)
per un opportuno c intermedio, senza nemmeno pagare la radice. Qui mi limito a citare l'idea, che è la stessa che si usa nella dimostrazione delle stime per gli integrali vettoriali (vedi apposita lezione), e che si potrebbe chiamare "stima per dualità". Si tratta di partire da un prodotto scalare del tipo
\(v\cdot(g(b)-g(a))\)
dove v è un vettore generico dello spazio di arrivo e il puntino indica il prodotto scalare. Questa è una funzione scalare, alla quale quindi si può applicare il Lagrange vero. Salto i relativi conti, ma alla fine si tratterà di applicare il risultato con v=g(b)-g(a). Se qualcuno ha voglia di completare i dettagli, si senta libero di farlo!
Re: Teorema della funzione implicita in codim k
Non so se ho capito bene, un esempio potrebbe essere:
[a,b]=[-1,1]
f: R---->R^2
definita da t ---> (t^2, arctan t)
il punto di Lagrange di t^2 è t=0 ma per arctan t è diverso da 0.
Grazie per la spiegazione!
Andrea
P.S.: sono nuovo qui e purtroppo non so scrivere delle formule decenti. C'è un topic apposta?
[a,b]=[-1,1]
f: R---->R^2
definita da t ---> (t^2, arctan t)
il punto di Lagrange di t^2 è t=0 ma per arctan t è diverso da 0.
Grazie per la spiegazione!
Andrea
P.S.: sono nuovo qui e purtroppo non so scrivere delle formule decenti. C'è un topic apposta?
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Re: Teorema della funzione implicita in codim k
L'esempio forse più semplice è la circonferenza parametrizzata da
\(\gamma:[0,2\pi]\to\mathbb{R}^2\)
definita da
\(\gamma(t)=(\cos t,\sin t).\)
P.S. Per le formule, come si suol dire, impara il LaTeX e mettilo da parTeX
\(\gamma:[0,2\pi]\to\mathbb{R}^2\)
definita da
\(\gamma(t)=(\cos t,\sin t).\)
P.S. Per le formule, come si suol dire, impara il LaTeX e mettilo da parTeX
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Re: Teorema della funzione implicita in codim k
Provo a esplicitare i conti per quanto riguarda la dimostrazione per "dualità"
Per ogni \(v \in \mathbb{R}^n\) considero l'applicazione
\(\varphi_v \ \colon \ \mathbb{R}^n \to \mathbb{R} \ | \ x \mapsto v \cdot g(x)\)
Per ognuna di queste applicazioni vale il teorema di Lagrange, ovvero
\(\varphi_v(b) - \varphi_v(a) = \nabla \varphi_v (c) \cdot (b-a)\) per un opportuno \(c\) nel segmento tra \(a\) e \(b\)
Passando ai valori assoluti e usando Cauchy-Schwarz si ottiene
\(|\varphi_v(b) - \varphi_v(a)| = |\nabla \varphi_v (c) \cdot (b-a)| \le ||\nabla \varphi_v (c)||\cdot||b-a||\)
Chi sono le derivate parziali di \(\varphi_v(x)\)? Svolgendo il prodotto scalare si ha \(\varphi_v(x) = \sum_{k=1}^n v_k \cdot g_k(x)\) da cui
\(\partial_i \varphi_v(x) = \sum_{k=1}^n v_k \cdot \partial_i g_k(x) \le |\sum_{k=1}^n v_k \cdot \partial_i g_k(x)| \le ||v|| \cdot ||J_g^{(i)}(x)||\)
Allora \(||\nabla \varphi_v (c)||^2=\sum_{i=1}^n [\partial_i \varphi_v(c)]^2 \le \sum_{i=1}^n ||v||^2 \cdot ||J_g^{(i)}(c)||^2 = ||v||^2 \cdot \sum_{i=1}^n ||J_g^{(i)}(c)||^2 = ||v||^2 \cdot ||J_g(c)||^2\) da cui
\(|\varphi_v(b) - \varphi_v(a)| \le ||\nabla \varphi_v (c)||\cdot||b-a|| \le ||v|| \cdot ||J_g(c)|| \cdot ||b-a||\)
Ora \(\varphi_v(b) - \varphi_v(a) = v \cdot (g(b)-g(a))\) ponendo quindi \(v=g(b)-g(a)\) si ottiene \(\varphi_v(b) - \varphi_v(a) = ||g(b)-g(a)||^2\) e andando a sostituire
\(||g(b)-g(a)|| \le ||J_g(c)|| \cdot ||b-a||\)
Per ogni \(v \in \mathbb{R}^n\) considero l'applicazione
\(\varphi_v \ \colon \ \mathbb{R}^n \to \mathbb{R} \ | \ x \mapsto v \cdot g(x)\)
Per ognuna di queste applicazioni vale il teorema di Lagrange, ovvero
\(\varphi_v(b) - \varphi_v(a) = \nabla \varphi_v (c) \cdot (b-a)\) per un opportuno \(c\) nel segmento tra \(a\) e \(b\)
Passando ai valori assoluti e usando Cauchy-Schwarz si ottiene
\(|\varphi_v(b) - \varphi_v(a)| = |\nabla \varphi_v (c) \cdot (b-a)| \le ||\nabla \varphi_v (c)||\cdot||b-a||\)
Chi sono le derivate parziali di \(\varphi_v(x)\)? Svolgendo il prodotto scalare si ha \(\varphi_v(x) = \sum_{k=1}^n v_k \cdot g_k(x)\) da cui
\(\partial_i \varphi_v(x) = \sum_{k=1}^n v_k \cdot \partial_i g_k(x) \le |\sum_{k=1}^n v_k \cdot \partial_i g_k(x)| \le ||v|| \cdot ||J_g^{(i)}(x)||\)
Allora \(||\nabla \varphi_v (c)||^2=\sum_{i=1}^n [\partial_i \varphi_v(c)]^2 \le \sum_{i=1}^n ||v||^2 \cdot ||J_g^{(i)}(c)||^2 = ||v||^2 \cdot \sum_{i=1}^n ||J_g^{(i)}(c)||^2 = ||v||^2 \cdot ||J_g(c)||^2\) da cui
\(|\varphi_v(b) - \varphi_v(a)| \le ||\nabla \varphi_v (c)||\cdot||b-a|| \le ||v|| \cdot ||J_g(c)|| \cdot ||b-a||\)
Ora \(\varphi_v(b) - \varphi_v(a) = v \cdot (g(b)-g(a))\) ponendo quindi \(v=g(b)-g(a)\) si ottiene \(\varphi_v(b) - \varphi_v(a) = ||g(b)-g(a)||^2\) e andando a sostituire
\(||g(b)-g(a)|| \le ||J_g(c)|| \cdot ||b-a||\)
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Re: Teorema della funzione implicita in codim k
Sì, direi solo che il valore assoluto va messo subito quando si vanno a stimare le derivate parziali.