Teorema Spettrale

[Massimo Gobbino]

Come ho già osservato in alcuni post qui sopra, quella lezione non brilla per chiarezza. Ciò che purtroppo confonde è l'inciucio tra applicazione e matrice, usati troppo allegramente come se fossero sinonimi. Alla lezione 54 è tutto detto con maggior precisione (almeno ci ho provato ).

Cerco di ridire meglio le cose.

Versione con solo applicazioni lineari e niente matrici. Sia V uno spazio vettoriale, e sia f: V -> V un'applicazione lineare. Si dice che f è simmetrica se <f(u),v> = <u,f(v)> per ogni u e v in V (la famosa "migrazione di f"). Il teorema spettrale afferma che un'applicazione lineare f è simmetrica se e solo se V ammette una base costituita da autovettori di f.

Versione con solo matrici senza applicazioni. Una matrice A quadrata n*n si dice simmetrica se coincide con la sua trasposta. Il teorema spettrale afferma che una matrice A è simmetrica se e solo se esiste una matrice ortogonale M tale che [tex]M^ {-1}AM[/tex] è diagonale.

Relazione tra le due nozioni. Un'applicazione f è simmetrica se e solo se la matrice A che la rappresenta, rispetto ad una qualunque base ortonormale (ad esempio la canonica), è una matrice simmetrica.

Boh, spero ora sia più chiaro. Quanto alla faccenda dell'autoaggiunta, fino a quando siamo in spazi di dimensione finita diciamo che "simmetrica" ed "autoaggiunta" sono sinonimi. Le cose cambiano più avanti, ma siamo per lo meno ad analisi 3 .

[ueshiba]

Ora mi è molto piu' chiaro, grazie

[ueshiba]

Rieccomi all'attacco

Il quadro ora mi è chiaro e mi tornano tutte le implicazioni varie fra matrice simmetrica, applicazione simmetrica e teorema spettrale, pero' non riesce ancora ad andarmi giu' che "A è diagonalizzabile mediante base ortonormale" equivale a dire che "esiste una matrice M ortogonale invertibile che la diagonalizza".

Mi spiego meglio: scelta una base ortonormale, se costruisco la matrice M di cambio di base, mi torna che questa sia ortogonale se si considera M da {Base Scelta} ---> {Base Canonica} ma non mi torna che questa sia ortogonale se si considera M da {Base Scelta} ---> {Base Qualsiasi}

[ueshiba]

bump

[Massimo Gobbino]

"A è diagonalizzabile mediante base ortonormale" equivale a dire che "esiste una matrice M ortogonale invertibile che la diagonalizza".

Questa frase non mi piace molto, perché risente ancora della confusione tra applicazione e matrice. Direi meglio "l'applicazione f ammette una base ortonormale di autovettori" e "la matrice A è diagonalizzabile mediante M ortogonale"

Mi spiego meglio: scelta una base ortonormale, se costruisco la matrice M di cambio di base, mi torna che questa sia ortogonale se si considera M da {Base Scelta} ---> {Base Canonica} ma non mi torna che questa sia ortogonale se si considera M da {Base Scelta} ---> {Base Qualsiasi}

Certamente, M rappresenta la matrice di cambio di base che prende in input componenti rispetto alla base "nuova" e restituisce in output componenti rispetto alla base canonica, o per lo meno rispetto alla base rispetto alla quale il prodotto scalare considerato (quello rispetto al quale la base è ortonormale) è rappresentato da una matrice identica. Solo in questo setting si ha l'equivalenza tra base ortonormale e matrice di cambio ortogonale (cioè con inversa uguale alla trasposta).