AM2 17-18 | forme differenziali, lezione 54

[Vagrant]

salve. nella caratterizzazione delle forme differenziali esatte alla fine della lezione 54, corso di analisi 2 per matematici del 2017/2018, credo che manchi l'ipotesi che l'insieme \(\Omega\) sia connesso? altrimenti non avrei la certezza che effettivamente esista la curva \(\gamma\) \(C^1\) a tratti che utilizziamo per definire la primitiva \(V\)


grazie!

[Massimo Gobbino]

nella caratterizzazione delle forme differenziali esatte alla fine della lezione 54, corso di analisi 2 per matematici del 2017/2018, credo che manchi l'ipotesi che l'insieme \(\Omega\) sia connesso? altrimenti non avrei la certezza che effettivamente esista la curva \(\gamma\) \(C^1\) a tratti che utilizziamo per definire la primitiva \(V\)

Non serve la connessione, perché si può fare la costruzione in ogni componente connessa. Diciamo che sin dall'inizio si può assumere wlog che l'insieme sia connesso.

[lauralordelaure]

La definizione della primitiva V utilizzata nella lezione dipende dalla possibilità di connettere due punti qualsiasi con una curva γ all'interno di Ω, quindi la connessione sembra necessaria, sei d'accordo?

[pigkang]

Non è necessario che il dominio
Ω
Ω sia completamente connesso, ma la definizione di primitiva su curve richiede di lavorare all'interno della stessa componente connessa. Quindi l'ipotesi "wlog che Ω sia connesso" è ragionevole e sufficientemente stringente per costruire la funzione "primitiva"
𝑉
V come nella lezione.