Algebra Lineare 2014 - Scritto 1

[Massimo Gobbino]

Qui sotto trovate testo e soluzioni del primo scritto di Algebra Lineare del 2014. Ricordo che la presenza del file di soluzioni è in un certo senso diseducativa. Infatti quello indicato è solo uno degli approcci possibili, mentre spesso ci sono diverse vie che portano alla soluzione. C'è poi l'eterno problema che molti, di fronte ai risultati, cercano ed inventano metodi creativi per "farli venire". Sarebbe quindi opportuno che ognuno risolvesse gli esercizi a suo modo, postando poi qui le soluzioni per discutere i metodi.

[Neomatrix092]

Buongiorno!
Volevo sapere quale metodo è stato usato per calcolare gli autovettori (e quindi gli autospazi) nell'esercizio 3... Non riesco proprio a trovarlo negli appunti...

[DaroB94]

Trovati gli autovalori, ovvero 3,2 1, fai i sistemi Ax=3x Ax=2x e Ax=x e trovi gli autovettori, gli autospazi sono lo span di quei vettori

[Neomatrix092]

Grazie, questo lo sapevo anche io

No è stato fatto qualcosa di diverso: tipo è stato sottratto l'autovalore alla diagonale principale e poi è stato risolto il sistema omogeneo se non vado errato...

[13700]

Beh, credo che sia perché se provi a scrivere il sistema Ax=2x (ad esempio) ti viene che la prima equazione è uguagliata a 2x_1, la seconda a 2x_2 eccetera, quindi quando porti a primo membro è come avere tolto 2 al coefficiente di x_1 nella prima equazione, di x_2 nella seconda e così via, dopo di che ti ritrovi con equazioni uguali a 0. Questi coefficienti sono esattamente i numeri sulla diagonale della matrice. Quindi basta togliere 2 alla diagonale e poi risolvere il sistema =0.

[Neomatrix092]

Ma questo discorso è valido sempre?

[Massimo Gobbino]

Ma questo discorso è valido sempre?

Guarda che non è nulla di strano: stanno tutti dicendo solo che risolvere Ax=2x è equivalente a risolvere Ax-2x=0, cioè a trovare il Ker di A-2 Identità. I metodi sono quindi assolutamente equivalenti, anzi sono esattamente lo stesso. Prova a fare il conto e te ne renderai conto (gioco di parole )!

Se preferisci, è l'osservazione a metà della seconda pagina della lezione 39.

[Neomatrix092]

Grazie professore, come al solito mi perdo in un bicchier d'acqua

[Leonardo]

Salve
Ho un dubbio nella risoluzione del primo esercizio punto a: io avrei usato il metodo descritto come alternativo
ma non riesco a capire la correlazione fra il vettore perpendicolare a B-A e C-A con l'area,ho provato un approccio grafico
al mio dubbio con scarso successo,apprezzerei molto volentieri una delucidazone sull'argomento

[Massimo Gobbino]

Non so se ho capito bene il tuo dubbio. Il metodo alternativo, quello con il teorema dei seni, ti torna?

Ora, per un fatto generale, si ottiene lo stesso risultato facendo la norma del vettore perpendicolare a B-A e C-A ottenuto con i determinanti (la famosa "formula misteriosa", che poi alla fine è il prodotto vettore). Il fatto che venga la stessa cosa è un conto, accennato se non sbaglio alla lezione 57 dell'anno scorso (e in effetti quest'anno potrei farlo alla lezione 10).

[Leonardo]

La ringrazio molto andrò subito a vedere la lezione 57 per capire per bene,comunque si,a intuito avrei svolto il metodo con i seni,tuttavia mi sembra opportuno conoscere più metodi possibile
per poter applicare il più vantaggioso in sede di esame.

grazie ancora