Indeterminatezza dell'integrale (es 3 prova esame 21/02/04)

[Mondo]

(c) Devo studiare la convergenza dell'integrale parametrico di cui sopra

(sin(x^2))/x^a con a<=-1...
Ora sono convinto che questo integrale sia indeterminato...
Se mostro che dopo un passaggio per parti, già il primo limite mi viene indeterminato, ho finito?
Se no, con il confronto serie-integrali (come suggeriscono gli "Aiutini" ) ce la faccio a vedere che oltre a NON convergere (il che è di per sè ovvio), quest'integrale è davvero intedeterminato?

Grazie mille a chiunque mi risponderà!

[Massimo Gobbino]

Ora sono convinto che questo integrale sia indeterminato...

Buon per te . Comunque è vero, e' indeterminato.

Se mostro che dopo un passaggio per parti, già il primo limite mi viene indeterminato, ho finito?

Assolutamente no.

Se no, con il confronto serie-integrali (come suggeriscono gli "Aiutini" ) ce la faccio a vedere che oltre a NON convergere (il che è di per sè ovvio),

Secondo me non è ovvio nemmeno far vedere che non converge. Bisogna usare un argomento simile alla dimostrazione della condizione necessaria per le serie.

quest'integrale è davvero intedeterminato?

Un possibile modo di dimostrare l'indeterminatezza è trovare 2 successioni sulle quali il limite fa + o - infinito. Per trovarle si fa il primo passaggio per parti, si scelgono le 2 successioni in modo che il limite del primo pezzo sia + o - infinito, quindi si stima il secondo pezzo con opportuni rettangolini facendo vedere che il suo ordine di grandezza è inferiore a quello della prima parte, dunque non può alterare il limite.
Questa spiegazione non contiene tutti i dettagli, ma dovrebbe essere sufficiente per completare la dimostrazione.

[Mondo]

nota: con pi, intendo pigreco, perchè non so scriverlo in altro modo

Per dimostrare la non convergenza avevo pensato di approssimare l'integrale dato a serie, una a termini positivi (la base dei primi sarebbe
x compreso tra sqrt((pi/3)+2kpi)) e sqrt((2pi/3)+2kpi; mentre la base dei secondi sarebbe compresa tra sqrt((4pi/3)+2kpi) e sqrt((5pi/3)+2kpi)). Ora, la prima serie diverge a +oo, mentre la seconda diverge a -oo.
Quindi l'integrale NON può convergere.
Quello che lei ha detto per dimostrare l'indeterminatezza mi sembra un procedimento non troppo diverso. Solo mi riesce difficile capire come dimostrare con i rettangolini che il secondo pezzo a ordine di grandezza inferiore. Io agirei con qualcosa come il confronto asintotico, oppure continuerei con i rettangolini: se io spezzo l'integrale in due parti, una in cui è positivo e l'altra in cui è negativo e vedo che la prima va a +oo e la seconda a -oo, può bastare?

Scusi se la tartasso con quest'esercizio, ma è davvero

[Massimo Gobbino]

nota: con pi, intendo pigreco, perchè non so scriverlo in altro modo

Acc... prima o poi installo LaTeX render e risolviamo questo problema...

Ora, la prima serie diverge a +oo, mentre la seconda diverge a -oo.
Quindi l'integrale NON può convergere.

Nooooo Errore concettuale. Nello stesso modo dimostreresti che l'integrale di (sin x)/x non può convergere. La teoria degli integrali impropri in una variabile ammette la compensazione all'infinito.

Quello che lei ha detto per dimostrare l'indeterminatezza mi sembra un procedimento non troppo diverso. Solo mi riesce difficile capire come dimostrare con i rettangolini che il secondo pezzo a

Vedo che non sono l'unico ad avere problemi di ortografia

ordine di grandezza inferiore. Io agirei con qualcosa come il confronto asintotico, oppure continuerei con i rettangolini

Facciamo il caso dell'integrale di x^4 sin x^2. Integrando in [0,A] dopo il primo passaggio per parti ti trovi qualcosa del tipo

A^3 cos A^2 + un integrale con x^2 cos x^2

In effetti ora serve un altro passaggio per parti che porta a roba del tipo

A^3 cos A^2 +/- A sin A^2 + un integrale con sin x^2 tra 0 e A.

Di tutto questo devi fare il limite per A che va all'infinito. L'ultimo integrale (in valore assoluto) si stima con A. Se ora scegli ora una successione A_k in cui il coseno fa 1 vedi che il limite è + infinito (per colpa di A^3). Se invece la scegli in modo che il coseno faccia -1 vedi che il limite è - infinito.

[Mondo]

Il "metodo brutale" l'ho capito (o almeno spero): faccio il primo passaggio per parti e poi osservo che l'integrale che mi è rimasto da fare è per forza più piccolo in valore assoluto del primo (che risulta indeterminato per le sottosuccessioni). Il problema è come rendere rigoroso (o apparentemente rigoroso) tutto questo.
Avevo pensato all'induzione (estesa), ma il parametro è reale, quindi sono fregato...

E poi relativamente a quella che lei chiama "compensazione all'infinito", non potrei sfruttare il fatto che il limite della funzione considerata è indeterminato, ma tende (qui sono davvero iper-brutale) un po' a +oo e un po' a -oo? In pratica vorrei sfruttare il fatto che il valore assoluto della funzione non solo non tende a 0, ma fa addirittura +oo

[Massimo Gobbino]

Il "metodo brutale" l'ho capito (o almeno spero): faccio il primo passaggio per parti e poi osservo che l'integrale che mi è rimasto da fare è per forza più piccolo in valore assoluto del primo (che risulta indeterminato per le sottosuccessioni). Il problema è come rendere rigoroso (o apparentemente rigoroso) tutto questo.
Avevo pensato all'induzione (estesa), ma il parametro è reale, quindi sono fregato...

???? Il metodo delle sottosuccessioni + un banale confronto rendono il tutto rigoroso. Presa la successione A_k in cui il coseno fa 1 hai che

integrale >= (A_k)^3 - A_k

(forse con qualche costante), quindi tende a + infinito. Idem con l'altra successione.

E poi relativamente a quella che lei chiama "compensazione all'infinito", non potrei sfruttare il fatto che il limite della funzione considerata è indeterminato, ma tende (qui sono davvero iper-brutale) un po' a +oo e un po' a -oo? In pratica vorrei sfruttare il fatto che il valore assoluto della funzione non solo non tende a 0, ma fa addirittura +oo

No, non è difficile fare esempi di integrali da 0 a + infinito in cui l'integranda tende un po' a + infinito e un po' a - infinito e che tuttavia convergono e convergono assolutamente.

[Mondo]

No, non è difficile fare esempi di integrali da 0 a + infinito in cui l'integranda tende un po' a + infinito e un po' a - infinito e che tuttavia convergono e convergono assolutamente.

Tipo?

(per il resto ho capito tutto, grazie mille )

[Massimo Gobbino]

Tipo?

Esercizio per casa!

Basta comunque fare triangolini sparsissimi con basi ultrasottili ma altissimi...

[Mondo]

Esercizio per casa!

Eserciziario o prove d'esame? ... Non lo/li trovo ...

[Lethal Dosage_88]

Esercizio per casa!

Eserciziario o prove d'esame? ... Non lo/li trovo ...

Penso proprio che fosse una battuta ...della serie "prova da solo"..

[Mondo]

Ok, ci proverò...