Limite dello scritto d'esame 9 gennaio 2003

[PLA]

In uno scritto d'esame (Gennaio 2003) ho trovato questo limite:

lim [(x+x^3)^2-sinx^2]/ log(1+x^4) per x->0

il risultato dovrebbe essere 2, ma a me viene (-2) utilizzando lo sviluppo di taylor di ordine 4.

Però non sono convinta dell'utilizzarlo benissimo: il procedimento che seguo é: sviluppo tradizionale del seno, per poi sostituire x con x^2 [praticamente prendo i due termini iniziali -l'ultimo è (-x^6/6) - e poi sommo o(x^8)]
Stessa cosa per il Log, fermandomi sempre ai primi due termini in quanto già col secondo arrivo a (-x^8/2)
Alla fine raccolgo al num e den x^8... e tutto ciò che resta è -1/2 al denominatore.

Dov'è lo sbaglio?
Grazie a tutti

[Massimo Gobbino]

Perché giochi sull'ordine 8? Cosa te ne fai del termine [tex](x+x^3)^2[/tex]? Che fine fanno i termini di ordine 2 e di ordine 4?

[PLA]

Grazie al suo consiglio, ho risolto!
Sostituisco a
sin(x^2) = x^2 + o(x^4)
log(1+x^4) = x^4 + o(x^4)

..ed il tutto torna con il risultato.

Ero andata un po' avanti con gli sviluppi perché quell' (x+x^3)^2 mi aveva inizialmente suggerito un qualcosa di ordine 6 per provare a raccogliere. Siccome col log arrivavo all'ordine 8, avevo accordato il numeratore al denominatore.
Ma in effetti, non capisco perché non mi sia venuto in mente che le potenze maggiori vengono "asorbite" dall' o piccolo

Grazie mille!