Limiti di funzioni Razionali

[mcastoro]

Buongiorno
Frequento Fisica a Padova, potete rispondermi lo stesso ?

Volevo capire perchè il professore di Analisi Matematica 1 mi ha segnato come errata questa risoluzione del limite.
Allego la mia soluzione.
Mi ha contestato il fatto che ho tolto il +3 e il -1 sotto radice.
Ma se x tende a +infinito sono elementi trascurabili o sbaglio ?
Ho provato una decina di esercizi di questo tipo ed il risultato mi viene sempre corretto.
Grazie mille
Maria

[Massimo Gobbino]

Mi ha contestato il fatto che ho tolto il +3 e il -1 sotto radice.
Ma se x tende a +infinito sono elementi trascurabili o sbaglio ?

"Trascurabile" è un concetto qualitativo pericoloso. Per lo stesso prezzo, potresti dire anche che \(12x\) è "trascurabile" rispetto a \(9x^2\), e \(4x\) è "trascurabile" rispetto a \(x^2\). Tuttavia, trascurando in questo modo, il limite sarebbe venuto 0.

E se dovessi fare

\(\displaystyle\lim_{x\to +\infty}x\left(\sqrt{9x^2+1}+\sqrt{4x^2+1}-\frac{5x^2+5x+1}{x+1}\right)\)

che cosa decideresti di "trascurare"?

[mcastoro]

Ma anche con Taylor ci si ferma dove serve
Nel mio piccolo, ho cercato di usare un ragionamento analogo.
Questo limite lo risolverei come da allegato.
In alternativa, come ha scritto il mio prof nella correzione del compito, si potrebbe far tendere 1/x a 0 e usare Taylor.
Lei userebbe Taylor oppure c'è anche un altro modo ?

[Massimo Gobbino]

Ma anche con Taylor ci si ferma dove serve

Ni, ci si può fermare da qualunque parte conservando nell'o-piccolo l'informazione quantitativa del punto in cui ci si è fermati. A quel punto, se uno si è fermato troppo presto o troppo tardi, se ne accorge per forza. È chiaro che poi uno lo può sempre raccontare aggiustando le cose e fermandosi "casualmente" proprio nel punto in cui serve, ma resterà sempre un ragionamento brutale.

Una risoluzione deve sempre basarsi solo su risultati dimostrati precedentemente. Cosa stai applicando nella tua risoluzione? Chi autorizza a trascurare 1/36 alla terza riga? E perché non si sarebbe potuto trascurare 1 nella prima radice della prima riga? Scrivendo per bene le cose con o-piccolo si vede che in effetti è così, ma altrimenti risulta arbitrario.

Lei userebbe Taylor oppure c'è anche un altro modo ?

Io userei Taylor, che funziona sempre e fornisce la certezza di essersi fermati al punto giusto. In alternativa, se uno si vuole del male, in questo caso si può anche "razionalizzare" le radici.

[mcastoro]

Grazie mille per l'esauriente spiegazione.
Durante il compito Taylor non mi era venuto in mente (dovevo capire che se x -> infinito, 1/x tende a zero e quindi applicare Taylor)
Avevo provato a razionalizzare le radici ed ho perso tempo prezioso senza arrivare lontano.
Ho ricordato la sua lezione 22 del 2016/2017 di cui allego l'estratto e mi sono ispirata a quella.
Il mio metodo non è simile a quello che Lei chiama Brutal Mode ?
Con metodo "canonico" è corretta la soluzione che allego ? (è sufficiente dire che la radice cubica tende a 0 per ordine di infinitesimi tra n e n^3 ?)

Grazie ancora