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Se il limite del rapporto tra due funzioni f(x) e g(x) per x --->Xo è del tipo 0/0, significa che sia il numeratore che il denominatore, nel punto
x = Xo sono nulli, ossia che i rispettivi grafici si intersecano sull'asse delle ascisse in Xo.
Allora anche le due rette tangenti ai grafici in Xo passeranno per X0.
Ma in Xo, la retta tangente di f(x) è la derivata in quel punto, come pure quella della g(x).
Se ne deduce che gli incrementi infinitesimi df(x) di f(x) e dg(x) di g(x) in x = Xo, delle due funzioni, coincideranno con quelli valutati sul grafico delle due rette tangenti (coefficiente angolare di ciascuna per dx).
La rappresentazione grafica è allegata.
Se poi f'(X0)/g'(Xo) è ancora del tipo 0/0, vorrà dire che anche f'(x) e g'(x) passeranno anch'essi per x = X0 e si può procedere con le derivate successine con buona pace di Cauchy e Rolle.
Spero di avere dato un contributo utile.
Giuseppe Maimone

Ni.

Gli argomenti riportati sopra conducono ad una dimostrazione in un caso speciale (anche se comunque interessante) e cioè quello in cui si assume che \(f(x)\) e \(g(x)\) siano derivabili nel punto \(x_0\) in cui si sta facendo il limite. In questo caso speciale la dimostrazione si può fare usando unicamente la definizione di rapporto incrementale (è un esercizio classico che in effetti meriterebbe più visibilità: se qualcuno ha voglia può provarci qui sotto).

Nel teorema con le ipotesi classiche, invece, la derivabilità nel punto non è assunta, e quindi ci tocca fare affidamento sul buon Cauchy.

Io mi chiedevo quale potesse essere l'interpretazione grafica del teorema e l'ho pensata nel modo esposto.
Adesso penserò a quella del teorema di Cauchy.
Con Stima
Giuseppe Maimone