Derivata 2015-esima di sin(x^5) in x=0

[maimoneg]

Chiar. Prof. Gobbino
Nell'esercizio 29 della serie Gobbino_2017_analisi_1,
non riesco a capire perché la derivata 2015
_esima valutata in zero della funzione sin(x^5) debba essere 2015!/403!.

L'esposizione che viene fatta è:
Visto che per sin(t) è 1/(403)! , se al posto di t sostituisco il termine successivo avrò f^(2015)/2015!

Uso il simbolo f^(n) per indicare la derivata di ordine n valutata nel punto relativo allo sviluppo e valutata nell'origine.

Questo è vero nel linguaggio parlato, ma "avrò" o "ottengo", non equivale dire che c'è proporzionalità diretta tra un coefficiente e il successivo nella serie di Taylor, perché ci sono di mezzo i fattoriali.

Dire:

Al posto di 1/403! ci sarà f^(2015)/2015!, equivale a dire 1: 403! = f^(2015) : 2025! ????

Mi sembra che la linearità venga meno.
Dove sbaglio?

PS
Non ho intenzione di calcolarmi tutte le derivate.

GRAZIE come sempre per la Sua disponibilità.
Giuseppe Maimone.

[Lorececco]

Non serve alcun argomento di proporzionalità: il coefficiente del termine di grado 2015 del polinomio di Taylor di \(\sin x^5\)?

[Massimo Gobbino]

In effetti onestamente non capisco molte parti del post di maimoneg

Il discorso è che, posto \(f(x)=\sin(x^5)\), in astratto si ha che

\(\displaystyle f(x)=\ldots+\frac{f^{(2015)}(0)}{2015!}x^{2015}+\ldots\)

mentre nel caso specifico, per composizione di sviluppi di Taylor, si ha che

\(\displaystyle f(x)=\ldots+\frac{1}{403!}x^{2015}+\ldots\)

Confrontando le due espressioni si ha la tesi, senza bisogno di considerare linearità o termini successivi (successivi a cosa, poi?).

Già che ci sono, sposto nella sezione giusta e metto un titolo ragionevole.

[maimoneg]

Ch.mo Prof (e gentili amici del forum)
Pensavo di avere capito, ma la mente mi ripropone il quesito ogni giorno. Non ci arrivo:

Ciò che si vuole trovare è il valore della derivata 2015_ma valutata nell'origine della funzione sin(x^5).

Io faccio questo ragionamento, ditemi dove non è logico.

Se il coefficiente di x^2015 nella serie di taylor di sin(X^5) è 1/(403!) perchè lo devo ancora cercare ?
Ciò vorrebbe dire che la derivata che cerco NON è 1/(403!).

In altri termini:

sin(x^5) = x^5 - x^15/3! + x^25/5! - x^35/7! +....- X^2015/(403!) è forse scorretta perchè "NON" si sono fatte le varie derivate di sin(x^5) prima, terza, quinta settima ecc..?

Ma se è scorretta, allora il termine (1/403!)x^2015 è scorretto pure lui perchè per arrivarci NON si sono fatte le derivate come sopra.

Quindi, il termine (d/dx)^2015/2015! dello sviluppo di sin(x^5) ha molto di strano, perchè se al denominatore c'è 2015! al numeratore dovrei avere una x^10075 (si sta sviluppando sin(x^5) non sin(x^1)).

Mi suona molto strano che che se ho sint = t-t^3(3!) + t^5/(5!)- ......ecc Che è corretta, e poi mi si dice che
nel caso di sin(x^n) debba fare una mera sostituzione sin(x^n) al posto di t e poi elevare alle rispettive potenze lasciando sempre (1/n!) come coefficiente anche per n grandissimi.
Ciò perchè con tutte le derivate della funzione sin(x^5) chissà quanti cos(x^5) ci saranno in giro, che valutati nell'origine e poi sommati daranno certamente qualcosa diversa da 1.

Il mio discorso sembrerebbe o è illogico, ma io penso a sin(t) dove t è una variabile al primo grado e giustamente ad un certo punto incontro il termine 2015_esimo/2015!.

Le derivate saranno (cost, -sint, - cost, sint) che in zero mi danno 1,0,-1, 0 e poi si ripetono ciclicamente.
Nel caso di sin t^5 ciò non è più vero.

Poi nello sviluppo se devo sostituire t = X^5 dove x^5 non è più al primo grado (funzione composta sin(x^5) ) f(g(x)), vado in tilt, perchè mi si dicono due cose:
La prima che il coefficiente del termine cui c'è x^2015 è 1/(403!): e questo sarebbe giusto se si sostituisce soltanto (ma perchè sostituire soltanto?).
La seconda che devo andarmi a cercare la derivata 2015ma e devo dividerla per 2015!

E' come se mi dicessero: è così e basta. Tu limitati a sostituire e non porti domande.

Non penso che come me, non si sia intrappolato nessuno, e che tutti hanno capito tranne io.

Un grazie anticipato per la risposta.

[keine_ahnung]

Nel momento in cui sostituisci \(x^5\) nello sviluppo di Taylor, il termine che nello sviluppo di \(sin(x)\) era \(x^{403}\) diventa \(x^{2015}\), ma il coefficiente di quel termine non è la derivata di \(sin(x^5)\), in quanto quel termine è diviso per \(403!\) e non per \(2015!\)

[Massimo Gobbino]

In ogni caso lo sviluppo

\(\sin(x^5)=x^5-\dfrac{x^{15}}{3!}+\dfrac{x^{25}}{5!}+\ldots+\dfrac{x^{2005}}{401!}-\dfrac{x^{2015}}{403!}+\ldots\)

è corretto (e si dimostra per composizione di sviluppi).

[maimoneg]

Grazie Professore
Allora sotto sotto c'è qualcosa che non so (cosa accade quando si effettua la sostituzione) e che non ho trovato da nessuna parte.
Ma è composizione di sviluppi oppure sviluppo di una composizione?
Perchè sin(x^5) sarebbe un caso particolarissimo di quello più generale ad es di f(g(x)) = sin(cosx), in quanto x^5 è già sviluppato per conto suo perchè è già un polimomio, e che senso avrebbe sviluppare un polinomio?

Al limite se uno scrivesse X^5 = x^5 + o(x^6), sarebbe fuori luogo perchè non otterrebbe mai la serie in quanto gli o piccoli mangerebbero le potenze successive.

Vuol dire che continuerò la ricerca nella mia testa, oppure non sarebbe male se sul forum gli amici si interessassero della questione la quale non è banale, perchè Taylor sta alla base di tutta l'analisi matematica e della fisica.
Ho sempre accettato la matematica quando mi sono reso conto della logica che c'era sotto.
Per capire cosa fosse la derivata, mi sono dovuto mettere dei panni di Newton e di Leibnitz e pensare a quali fossero i lori problemi per cui hanno dovuto introdurre il Calcolo, in quanto prima di loro, dato l'oscurantismo del medio evo, c'era qualcosina nel modo di pensare di Pitagora, ma per il resto eravamo fermi ad Euclide.
Un cordiale grazie ed un saluto a tutti.
Alla prossima
Giuseppe Maimone

[keine_ahnung]

Prendiamo un caso pratico più semplice, per esempio lo sviluppo di ordine 4 di \(sin(x)\) in \(0\):

\(sin(x)=x-\dfrac{x^3}{3!}+o(x^4)\)

Espliciti l’o piccolo:

\(o(x^4)=x^4*\omega(x)\)

Dove \(\omega(x) \to 0\) per \(x \to 0\), giusto?

Quindi:

\(sin(x)=x-\dfrac{x^3}{3!}+x^4*\omega(x)\) {1}

Quella eguaglianza vale per ogni \(x\)? Si, vale per ogni \(x\) per cui \(sin(x)\) è definita, quindi in particolare vale per \(x^5\) (il Prof.Gobbino tende a dare per scontato questo passaggio e sostituisce direttamente nella formula con l’o piccolo). Quindi abbiamo:

\(sin(x^5)=x^5-\dfrac{x^{15}}{3!}+x^{20}*\omega(x^5)\)

Adesso ci chiediamo se è anche vero che:

\(sin(x^5)=x^5-\dfrac{x^{15}}{3!}+o(x^{20})\) {2}

La risposta in questo caso è si! Perché è si? Perché quando \(x \to 0\) anche \(x^5 \to 0\), quindi, per composizione di limiti, abbiamo che quando \(x \to 0\) \(\omega(x^5) \to 0\). Questo ci permette di concludere che la formula {2} è corretta.
Si poteva sostituire \(\frac{1}{x}\) nell’equazione {1}? Si, sarebbe stato corretto, ma non si sarebbe potuto concludere che era un o piccolo, quindi non si sarebbe potuti passare alla {2}!

Per tornare al tuo quesito, pensiamo a \(sin(x^5)\) come ad una funzione composta da \(x^5\) e da \(sin(x)\). Cosa rappresenta la {2}? Rappresenta lo sviluppo di ordine 20 di \(sin(x^5)\), giusto?
Adesso consideriamo il coefficiente davanti a \(x^5\), da cosa è dato questo coefficiente? Taylor ci dice che è calcolato come:

\(\dfrac{f^{(5)}(0)}{5!}\)

Noi sappiamo da {2} che TUTTA questa frazione è uguale a 1, e che quindi la derivata quinta di \(sin(x^5)\) in \(0\) deve essere necessariamente uguale a \(5!\) e non a 1. La stessa cosa vale per la derivata 2015-esima

[maimoneg]

keine_ahnung mi pare derivi dal tedesco nessuna_idea.
Ma bando all'ironia, quello che hai scritto tu, io lo so, e lo condiviso pienamente.
Però ciò che volevo dire è che non esiste uno sviluppo di Taylor di un polimomio.
Oppure, facciamo così:
Facciamo finta di non sapere, perchè non lo conosciamo, lo sviluppo di sin(x) e
vogliamo sviluppare sin(x^5) con la formula generale di Mc Laurin:
f(x) = f(0) + f'(0)x + f''(0)x^2/2! + f'''(o)x^3/3! ..........
poi ci mettiamo a fare le derivate e sostituiamo.
I termini di grado pari saranno nulli perchè il seno è una funzione dispari.
Quelli di grado dispari, siccome nelle derivazioni poi verranno fuori tanti coseni, e allora c'è da fare la somma.
Ad occhio e croce, quando andremo a fare la derivata 403_ma, i termini saranno circa la metà (perchè mancano quelli di grado pari),
e dopo aver fatto circa 200 derivazioni, vuoi che non ci siano tanti coseni che ci pongono qualche dubbio?
Se tu il dubbio non ce l'hai, beato te.
Personalmente dovessi preparare un programmino di reverse enginering per calcolare la derivata in questione,
non so come mi comporterei.
Il fatto è che si è presa una funzione il cui argomento è proprio un polinomio (x^5),
ed è quindi quasi logico che il risultato possa essere corretto.
S'è preso un caso particolarissimo di sviluppo.
Diverso sarebbe stato se si fosse preso ad es: f(x) = cos(sin(exp(x^arctang(x)))) e si chiedeva di fermarsi al IV ordine.
Avrei svilippato l'arctan, messo nell'exp, poi nel sin ed infine nel cos.
Un cordiale saluto.
G. Maimone

[keine_ahnung]

Sinceramente non riesco a capire il tuo dubbio. Provo a spiegartelo in un altro modo.
Il nostro scopo è, data una funzione \(f(x)\), trovare un polinomio, \(P_n(x)\), di grado minore o uguale a \(n\) tale che:

\(f(x)=P_n(x)+o(x^n)\) {1}

per \(x \to 0\)

Adesso noi sappiamo due cose:
1) se \(f(x)\) rispetta certe ipotesi allora la formula per \(P_n(x)\) ci è data da Taylor
2) il \(P_n(x)\), se esiste, è unico

Il punto 2 ci dice che se noi, non importa come, riusciamo a trovare un polinomio che rispetta la {1}, quel polinomio è UNICO, ed è quindi il polinomio che stavamo cercando. Il punto 1 ci dice invece che, se la \(f(x)\) rispetta certe ipotesi, i coefficienti di quel polinomio sarebbero potuti essere ottenuti anche tramite la formula di Taylor, quindi tramite le derivate successive. In poche parole, come nel caso di \(sin(x^5)\), tu hai un polinomio che rispetta {1}, e quindi hai i suoi coefficienti, tu da lì può risalire al valore delle derivate di \(f(x)\) nel punto, in quanto ti basta eguagliare il valore di un dato coefficiente alla formula che Taylor suggerisce per quel determinato coefficiente. Non c’è possibilità di errore in quanto il polinomio che rispetta la {1} è unico.

P.S: ogni polinomio è lo sviluppo di Taylor di se stesso, lo si deduce facilmente dal fatto che \(P(x)\) è unico. In altre parole un polinomio è già nella forma di Taylor

Inoltre l’esempio che hai scelto tu alla fine è incasinato perché non puoi sviluppare tutte le funzioni in \(x=0\), ma per ognuna devi vedere a cosa tende l’argomento. Per esempio:

\(x^{arctan(x)} \to 1\) e non a \(0\)

quando \(x \to 0\)

[maimoneg]

Caro amico ti scrivo.
Non è che io non creda alla matematica.
Ti faccio una domanda:
Se quel valore della derivata 2015_ma ti serve per la stabilità di un ponte in cemento armato, staresti tranquillo?
Io no fintantochè non ne ho una dimostrazione rigorosa.
A presto, e non scervellarti per rendermi il discorso più semplice.
Vedrai che ci arriverò a furia di rileggere e di risentire la lezione, anche se la devo rivedere 2015 volte.
Grazie per il tempo prezioso che dedicate ai miei dubbi.
Anch'io rispondo a qualche domanda.
Alla prossima.
G. Maimone

[keine_ahnung]

Quella che ti ho dato è una dimostrazione rigorosa. Scusa ma se uno ti dice che il prodotto tra due numeri fa 12 e ti dice che uno dei due fattori è 4, tu come fai a ricavare l’altro? Imposti l’equazione \(4*x=12\), giusto? È la stessa cosa qui. Se io ti dico che il valore di quel coefficiente vale per esempio 10 e tu sai (da Taylor) che quel coefficiente si ottiene dividendo il valore della derivata quinta nel punto per \(5!\), è logico che ti basta eguagliare le due cose per ottenere un equazione da cui ricavare il valore della derivata seconda nel punto:

\(\frac{f^{(5)}(x_0)}{5!}=10 \implies f^{(5)}(x_0)=1200\)

E la stessa cosa vale per la derivata 2015-esima

[maimoneg]

Grazie per il tuo tempo prezioso che stai impiegando con me.
Lasciami fare un pò di conti, e se mi convinco tutto si risolve.
In ogni caso, ogni dubbio serve essere superato, un pò come i paradossi che nascono come paradossi
e poi diventano verità.
Un esempio tanto per concludere almeno questa chiacchierata:
se ti dicessi che la somma di due angoli interni di un triangolo è di 105°,
penso che non esitrersti un attimo a dire che il terzo angolo vale 75°.
Però non ti ho detto che il triangolo è disegnato su una superficie sferica o a sella.
A volte qualcosa di "non detto" in un discorso, può causare la rottura di un filo logico.
A presto, dopo che avrò fatto un pò di conti con le derivate.
Non me ne volere per la mia testardaggine.
G. Maimone

[maimoneg]

Alla cortese attenzione del Ch.mo Prof. Massimo Gobbino

ADESSO HO LA RISPOSTA DELLO SVILUPPO DI sin(x^5) IN SERIE DI MC LAURIN

Non capivo perchè bisognava sostituire nello svilippo di sin(t) brutalmente x^5 cioè:

sin(x^5) = (1)x^5 - (1)x^15/3! + .....ecc

Il motivo consiste nel fatto che il coefficiente di x^5 ,(1 uno) dello svipuppo (dopo la sostituzione) svia l'attenzione, ed anche il 3! a denominatore di x^15.

Il suo valore è 1, non perchè c'è un 1 nello sviluppo di :

sint = (1 uno)t - t3/3! + t^5/5! - ....ecc

ma perchè quell'1, viene dalla semplificazione di 120/5!

Si proprio 120, perchè è ciò che si ottiene facendo la derivata quinta e valutandola nell'origine.

E siccome; 120 = 5! ottengo 5!/5! =1, e quindi soltanto x^5 come primo termine dello sviluppo.

Di conseguenza il 3! che c'è sotto (1)x^15/3!, non è altro che ciò che rimane dalla seguente semplificazione:

(4x5x6x7x8x9x10x11x12x13x14x15)/(1x2x3x4x5x6x7x8x9x10x11x12x13x14x15) = 1/(1x2x3) = 3!

Quindi: sin(x^5) = x^5 - [1/(1x2x3]X^15...ecc.....

Questo era l'anello di congiunzione che mi mancava.

Se prima la matrice cognitiva dell'ascoltatore, (in questo particolare sviluppo di polinomio) non fa un salto pindarico, non se ne esce fuori.
Ecco perchè avevo scritto che spesso una cosa non detta combina guai di questo tipo.

Adesso mi chiedo se esiste qualche "metodo induttivo" o altro, che,senza fare le derivate porti alla dimostrazione che in:

sint = t - t^3/3! + t^5/5! - ... ecc.

si possa sostituire "brutalmente" un generico polinomio p(x) di grado n al posto dell'argomento t del seno dentro lo sviluppo;

perchè diversamente la vedo ardua.

Chiaramente io ho fatto un pò di calcoli con sin(x^3), che per WLOG è la stessa cosa, ma mi ha semplificato i conti.

Con stima
La Saluto cordialmente
Giuseppe Maimone

[Massimo Gobbino]

Adesso mi chiedo se esiste qualche "metodo induttivo" o altro, che,senza fare le derivate porti alla dimostrazione che in:
si possa sostituire "brutalmente" un generico polinomio p(x) di grado n al posto dell'argomento t del seno dentro lo sviluppo

Nel caso in cui uno sostituisce semplici potenze è dimostrato all'inizio della pagina 3 della lezione 28 del 2014/15.

Il caso generale è dimostrato più sotto nella stessa pagina o alla lezione 30 del 2016/17.