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Chiari.mo Prof Gobbino

Sebbene molto semplice, a volte nelle lezioni capita di incepparmi.
Nella lezione AM1_17_L029, alla fine viene sviluppato con Mc Laurin il sin(5x).

Tenendo presente che se si decide di fermarsi a n=4, si scrive:

sin(5x) = 5x - (5x)^3/3! + o(x^4)

Ciò è lecito sia perché il seno è funzione dispari sia perché se si proseguisse con il termine successivo, contenendo questo una x^5, sarebbe preda di o(x^4).
Però viene fatto intendere che va benissimo anche o(x^24) anche per x alla 4,9999 ma non o(x^25).
Ma 4,9999 non verrebbe ingoiato da o(x^4)?
Non riesco ad uscire da questo pensiero, perché?
Non sarebbe anche corretto nel caso di scelta n=5 di
prendere anche il termine successivo e terminare con un o(x^5)?
In parole più semplici o piccolo è minore stretto di n scelto oppure no?
Ringrazio anticipatamente per la risposta, e mi scuso se nell'intento di capire perfettamente magari pecco di pignoleria.
Giuseppe Maimone

Chiariamo innanzitutto che la funzione che stiamo cercando di sviluppare è \(\sin(x^5)\) e non \(\sin(5x)\).
Per ottenere lo sviluppo della funzione in questione, ci basta porre \(x^5=t\) e poi sviluppare, elementarmente, \(\sin(t)\).

Notiamo che \(\sin(t)=t-\frac{t^3}{3!}+o(t^3)\) e di conseguenza, ritornando alla variabile di partenza, otteniamo \(\sin(x^5)=x^5-\frac{x^{15}}{3!}+o(x^{15})\).

Notiamo però che al posto di \(o(x^{15})\) potremmo anche mettere \(o(x^{24.99})\) proprio perché, se continuiamo lo sviluppo, otteniamo che il termine successivo sarebbe \(\frac{x^{25}}{5!}\).


P.S: Credo che l'argomento vada in Calcolo differenziale in una variabile.

[EDIT by Massimo Gobbino] Ho spostato l'argomento

Nella lezione citata si trattava del sin(5x) e non del sin(x^5)
Altra cosa, nello sviluppo del seno i segni sono alterni e non tutti positivi.
Inoltre nello sviluppo che mi hai inviato se si trattava di x^5 ci sarebbe stato un x^15 e non un x^10.
Ti prego di lasciare rispondere ai delegati a farlo.
Un caro saluto.

Chiaramente il + al posto del - è un errore di battitura. Inoltre, ho provato a ricontrollare la lezione ma boh, sarò diventato cieco ma io non vedo lo sviluppo di \(\sin(5x)\)

Edit: Giusto per precisare, il forum è nato per scambiare opinioni tra utenti e confrontarsi. Chiunque è libero di rispondere alla tua domanda e cercare di chiarire i tuoi dubbi. Non sarò esaustivo come il professore, ma sicuramente nel mio piccolo posso provare a contribuire alla tua comprensione. Non esiste nessun "delegato" alla risposta

anche io nella lezione in questione non ho trovato l'esercizio con sin(5x)

frequentando il forum da diversi anni, posso confermare che non c'è alcun delegato a rispondere alle domande postate qui, anzi per stessa indicazione del creatore è incoraggiato lo scambio di opinioni e suggerimenti tra tutti i frequentatori (studenti e non) avendo come primo obiettivo quello di essere possibilmente di aiuto reciproco:

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albertoandrenucci_ wrote:Giusto per precisare, il forum è nato per scambiare opinioni tra utenti e confrontarsi. Chiunque è libero di rispondere alla tua domanda e cercare di chiarire i tuoi dubbi. Non sarò esaustivo come il professore, ma sicuramente nel mio piccolo posso provare a contribuire alla tua comprensione. Non esiste nessun "delegato" alla risposta

Confermo pienamente questa indicazione: non c'è nessun delegato alla risposta. Tutti sono caldamente invitati a rispondere alle domande degli utenti. Io di norma intervengo solo quando vedo che il punto è particolarmente delicato, o che qualche osservazione interessante non è ancora stata fatta. Ne approfitto per ringraziare Alberto e GIMUSI per i preziosi contributi su questo Forum.

Grazie Professore.