Chiarimento su o piccolo

[maimoneg]

Chiari.mo Prof Gobbino

Sebbene molto semplice, a volte nelle lezioni capita di incepparmi.
Nella lezione AM1_17_L029, alla fine viene sviluppato con Mc Laurin il sin(5x).

Tenendo presente che se si decide di fermarsi a n=4, si scrive:

sin(5x) = 5x - (5x)^3/3! + o(x^4)

Ciò è lecito sia perché il seno è funzione dispari sia perché se si proseguisse con il termine successivo, contenendo questo una x^5, sarebbe preda di o(x^4).
Però viene fatto intendere che va benissimo anche o(x^24) anche per x alla 4,9999 ma non o(x^25).
Ma 4,9999 non verrebbe ingoiato da o(x^4)?
Non riesco ad uscire da questo pensiero, perché?
Non sarebbe anche corretto nel caso di scelta n=5 di
prendere anche il termine successivo e terminare con un o(x^5)?
In parole più semplici o piccolo è minore stretto di n scelto oppure no?
Ringrazio anticipatamente per la risposta, e mi scuso se nell'intento di capire perfettamente magari pecco di pignoleria.
Giuseppe Maimone

[albertoandrenucci_]

Chiariamo innanzitutto che la funzione che stiamo cercando di sviluppare è \(\sin(x^5)\) e non \(\sin(5x)\).
Per ottenere lo sviluppo della funzione in questione, ci basta porre \(x^5=t\) e poi sviluppare, elementarmente, \(\sin(t)\).

Notiamo che \(\sin(t)=t-\frac{t^3}{3!}+o(t^3)\) e di conseguenza, ritornando alla variabile di partenza, otteniamo \(\sin(x^5)=x^5-\frac{x^{15}}{3!}+o(x^{15})\).

Notiamo però che al posto di \(o(x^{15})\) potremmo anche mettere \(o(x^{24.99})\) proprio perché, se continuiamo lo sviluppo, otteniamo che il termine successivo sarebbe \(\frac{x^{25}}{5!}\).


P.S: Credo che l'argomento vada in Calcolo differenziale in una variabile.

[EDIT by Massimo Gobbino] Ho spostato l'argomento

[maimoneg]

Nella lezione citata si trattava del sin(5x) e non del sin(x^5)
Altra cosa, nello sviluppo del seno i segni sono alterni e non tutti positivi.
Inoltre nello sviluppo che mi hai inviato se si trattava di x^5 ci sarebbe stato un x^15 e non un x^10.
Ti prego di lasciare rispondere ai delegati a farlo.
Un caro saluto.

[albertoandrenucci_]

Chiaramente il + al posto del - è un errore di battitura. Inoltre, ho provato a ricontrollare la lezione ma boh, sarò diventato cieco ma io non vedo lo sviluppo di \(\sin(5x)\)

Edit: Giusto per precisare, il forum è nato per scambiare opinioni tra utenti e confrontarsi. Chiunque è libero di rispondere alla tua domanda e cercare di chiarire i tuoi dubbi. Non sarò esaustivo come il professore, ma sicuramente nel mio piccolo posso provare a contribuire alla tua comprensione. Non esiste nessun "delegato" alla risposta

[GIMUSI]

anche io nella lezione in questione non ho trovato l'esercizio con sin(5x)

frequentando il forum da diversi anni, posso confermare che non c'è alcun delegato a rispondere alle domande postate qui, anzi per stessa indicazione del creatore è incoraggiato lo scambio di opinioni e suggerimenti tra tutti i frequentatori (studenti e non) avendo come primo obiettivo quello di essere possibilmente di aiuto reciproco:

Utilizzo del Forum

[Massimo Gobbino]

Giusto per precisare, il forum è nato per scambiare opinioni tra utenti e confrontarsi. Chiunque è libero di rispondere alla tua domanda e cercare di chiarire i tuoi dubbi. Non sarò esaustivo come il professore, ma sicuramente nel mio piccolo posso provare a contribuire alla tua comprensione. Non esiste nessun "delegato" alla risposta

Confermo pienamente questa indicazione: non c'è nessun delegato alla risposta. Tutti sono caldamente invitati a rispondere alle domande degli utenti. Io di norma intervengo solo quando vedo che il punto è particolarmente delicato, o che qualche osservazione interessante non è ancora stata fatta. Ne approfitto per ringraziare Alberto e GIMUSI per i preziosi contributi su questo Forum.

[maimoneg]

Grazie Professore.