Dubbi esercizi funzioni inverse

[nick_97]

Buon pomeriggio a tutti! Svolgendo esercizi su Ricapitolazione-Funzioni inverse 1 e 2 sono nati alcuni dubbi riguardo due esercizi. Il primo è il numero 3 della scheda 121. Una volta risposto alle prime due domande, come si può studiare la convergenza dell'integrale al punto c)?
L'altro invece è il numero 5 della scheda 122 e le richieste un po più problematiche a mio avviso sono studiare i punti di non derivabilità, l'uniforme continuità, e l'holderianità della funzione inversa g(x). I problemi nascono dal fatto che le funzioni inverse non sono esprimibili per mezzo di funzioni elementari e dunque come ragionare?? Possono essere utili stime asintotiche??

[C_Paradise]

Ciao! Per quanto riguarda le domande (c) ed (f) dell'esercizio 5 della scheda 122 prova a vedere se può essere di aiuto studiare i punti in cui \(f'(x)=0\) per rispondere a (c) e pensa alla formula "brutale" della derivata della composta e vedi dove non può funzionare. Per (f) invece ci serve il punto (b) supponi infatti che \(g(x)-x\) sia periodica allora sai che è uniformemente continua, infatti se \(T\) è il periodo di \(g(x)-x\) poiché è continua su tutto \(\mathbb{R}\) (in quanto \(g(x)\) è continua perché ...) in particolare lo sarà su \([0,T]\) quindi per Heine-Cantor è uniformemente continua su \([0,T]\) ma essendo periodica lo è ovunque. A questo punto vedi \(g(x) = x + (g(x)-x)\) e usi il fatto che somma di funzioni UC è UC

[C_Paradise]

Per l'Hölderianità uno per farsi un'idea può prendere intervallo \([\pi, 2\pi]\) e vedere che c'è un problema in \(\pi\) infatti in \(\pi\) la funzione \(g(x)\) non è derivabile. Per ogni \(x \in [0,\pi]\) vale \(f(\pi+x) \ge \pi + C \cdot x^3\) per una opportuna costante positiva \(C\), pongo \(x = \big(\frac{h}{C}\big)^{1/3}\) e considero \(f\Big(\pi+\big(\frac{h}{C}\big)^{1/3}\Big) \ge \pi + h\), per monotonia di \(g\) ottengo

\(\displaystyle \pi+\Big(\frac{h}{C}\Big)^{1/3}=g\Big(f\Big(\pi+\Big(\frac{h}{C}\Big)^{1/3}\Big)\Big) \ge g(\pi + h)\) da cui

\(\displaystyle g(\pi+h)-g(\pi)=g(\pi+h)-\pi \le \Big(\frac{h}{C}\Big)^{1/3}\)

tira molto aria di \(\frac{1}{3}-\)Hölder

PS: Dove si usa che l'insieme è limitato? Come esce la costante \(C\)?

[nick_97]

Grazie mille! Tutto chiarissimo nella prima risposta.
Per l'holderianità la costante C potrebbe uscire dallo sviluppo della funzione?