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Nel caso di funzioni che sono polinomi , e che danno origine ad una forma indeterminata 0/0 nel punto x_0
e' possibile dimostrare Hopital nella forma iterata , senza ricorrere al teorema di Cauchy?

Sui polinomi si può fare tutto usando la fattorizzazione. Un polinomio che si annulla in \(x_0\) si può sempre scrivere nella forma

\((x-x_0)^k q(x)\)

per un opportuno intero positivo k ed un opportuno polinomio q(x) che non si annulla nel punto in questione. Da qui segue tutto.

Ho letto da qualche parte che la dimostrazione del teorema di hopital , quella originale, trattava solo il caso di indeterminazione 0/0, e non faceva uso chiaramente del teorema di cauchy in quanto questo fu scoperto cronologicamente dopo, successivamente un altro matematico ne propose l'iterazione, sarei curioso di conoscere tale dimostrazione, potreste darmi quache dettaglio a riguardo, magari anche qualche link?
Grazie!

Beh, qui c'è un po' tutto sulla storia

https://en.wikipedia.org/wiki/L%27H%C3%B4pital%27s_rule

compreso l'affaire Bernoulli

https://en.wikipedia.org/wiki/Johann_Be ... ontroversy

ed il link alle pagine originali (scritte nel linguaggio dell'epoca, in cui il concetto di funzione non era così ben definito come oggi).

La dimostrazione nel caso speciale in cui si assume che f' e g' esistano nel punto limite usa solo la definizione di derivata come limite del rapporto incrementale, dunque niente teorema di Cauchy.