Esercizio Parte intera di x con radice

[DavidMath]

Salve non ho capito bene questo argomento e mi è stato assegnato quest'esercizio , se potreste darmi una mano nel capire sarebbe fantastico

Sia \([x]\) la parte intera di \(x\in \mathbb{R}\). Per \(x\ge \frac{1}{2}\) consideriamo la funzione
f definita da:

f(x) = \([x] +\left(x- [x]\right)^{\frac{1}{2}}.\)

Devo dimostrare che f è continua Per \(x\ge \frac{1}{2}\) e strettamente crescente su \([1,+\infty)\)
Ho provato a sostituire l'esponente \(1/2\) con \([x]\) e ho fatto: \(f(x) = [x] +(M(x))[^x]\)
Ma dopo non so come procedere.. Grazie

[GIMUSI]

allego un possibile svolgimento, mi risulta che f sia continua e strettamente crescente su tutto \(\mathbb{R}\)

PS-01
sulle parti intere ti segnalo anche questo thread

limiti dove compare la parte intera

PS-02
non so quale sia la collocazione più corretta di questo esercizio; forse 50% preliminari e 50% limiti

PS-03
visto che ci sono ti segnalo anche il "se poteste"

[DavidMath]

Grazie per l'aiuto . Volevo chiedere un altro paio di cose... E' illegale supporre an = \([x] +\left(x- [x]\right)^{\frac{1}{2}}.\) e calcolarsi il limite di x che tende a + Infinito??

Per dimostrare la continuità della funzione per \(x\ge \frac{1}{2}\) non mi basta osservare che \((x- [x])^{\frac{1}{2}} \ge 0\) essendo una radice il suo risultato è sempre positivo , quindi non ci sono punti di discontinuità e abbiamo che f(x) è continua \(\forall x \in \mathbb{R} \ge \frac{1}{2}\).
Va bene come ragionamento?

[GIMUSI]

... E' illegale supporre an = \([x] +\left(x- [x]\right)^{\frac{1}{2}}.\) e calcolarsi il limite di x che tende a + Infinito??

il limite è infinito perché f è somma di una funzione g(x) che tende ad infinito e di una funzione h(x) limitata, quindi la g(x) è sufficiente a superare definitivamente ogni barriera M "grande"

Per dimostrare la continuità della funzione per \(x\ge \frac{1}{2}\) non mi basta osservare che \((x- [x])^{\frac{1}{2}} \ge 0\) essendo una radice il suo risultato è sempre positivo , quindi non ci sono punti di discontinuità e abbiamo che f(x) è continua \(\forall x \in \mathbb{R} \ge \frac{1}{2}\).
Va bene come ragionamento?

la continuità si dimostra tramite la definizione di limite e/o mediante il metateorema

come è evidente dallo svolgimento la h(x) non è affatto continua perché ha problemi nei punti interi

[Massimo Gobbino]

non so quale sia la collocazione più corretta di questo esercizio; forse 50% preliminari e 50% limiti

Ci ho un po' pensato e alla fine ho optato per la sezione sullo studio di funzione.

In ogni caso direi che la soluzione di GIMUSI è impeccabile (e direi sostanzialmente l'unica possibile).

[Massimo Gobbino]

Forse a questo punto tanto vale generalizzare un pochino: caratterizzare tutte le funzioni g per cui la funzione

\(f(x)=[x]+g(x-[x])\)

è continua su tutta la retta reale.

[GIMUSI]

direi

\(g: A \rightarrow \mathbb{R}\) con \([0,1) \subseteq A\)

continua in \((0,1)\) con \(g(0)=0\) e \(\displaystyle \lim_{x \to 1^-} g(x)=1\)