esercizio funzione continua

[francicko]

Sono alle prese con il seguente problema:
Sia Q l'insieme dei numeri razionali numerabile , essendo numerabile possiamo scriverlo come Q={r_n : n appartenga ad N}.
Sia f: R->R la funzione definita da
f (x)={1/(n+1) se x=r_n.
f (x)=0 se x non appartiene a Q.
Dire in quali eventuali punti la funzione e' continua.
A mio avviso nei punti diversi da zero appartenenti ad Q la funzione non risulta continua in quanto comunque preso un intorno di uno di tali punti, vengono a cadere infiniti punti irrazionali dove la funzione assume il valore 0;
Per quanto invece riguarda il punto 0 ed I punti non appartenenti a Q, cioe' irrazionali, in tali punti la funzione non risulterebbe continua in quanto la successione r_n non mantiene l'ordine di Q, anzi e' impossibile costruire una r_n che lo mantenga, pertanto comunque preso un intorno in uno di tali punti, cadrà sempre almeno un r_k che non rispetterà l'ordine, mi sbaglio?

[Massimo Gobbino]

Per quanto invece riguarda il punto 0 ed I punti non appartenenti a Q, cioe' irrazionali, in tali punti la funzione non risulterebbe continua in quanto la successione r_n non mantiene l'ordine di Q, anzi e' impossibile costruire una r_n che lo mantenga, pertanto comunque preso un intorno in uno di tali punti, cadrà sempre almeno un r_k che non rispetterà l'ordine, mi sbaglio?

Uhm, in questa seconda parte del post direi di sì ... Intanto 0 sta tra i razionali, quindi lì hai già dimostrato la non continuità.

Nei punti irrazionali invece la funzione è continua. Basta dimostrare che in un opportuno intorno si mantiene piccola ... e per questo basta prendere l'intorno abbastanza piccolo in modo da lasciare fuori i primi razionali della lista, che poi sono gli unici in cui f(x) è abbastanza grande.

Detto formalmente, dato \(x_0\) irrazionale e dato epsilon>0, scelgo n in modo che 1/n sia più piccolo di epsilon e poi delta in modo che l'intorno di \(x_0\) di ampiezza delta lasci fuori tutti i primi n razionali. A quel punto in quell'intorno f vale, volendo in valore assoluto, meno di epsilon. Questo mostra la continuità.

P.S. Ho cancellato l'altro thread che sembrava essere un doppione di questo.