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Grazie mille per la disponibilità

Quindi, i passaggi giusti nell'esempio proposto dovrebbero essere questi. \int e^x \cos x\,dx=e^x(\sin x + \cos x)-\int e^x\cos x\,dx sommando a primo e secondo membro \int e^x\cos x\,dx si ottiene \int e^x \cos x\,dx+\int e^x\cos x\,dx=e^x(\sin x + \cos x)-\int e^x\cos x\,dx+\int e^x\cos x\,dx 2\in...

Sì, grazie avevo capito

Indicando con \int f(x)\,dx l'insieme di tutte le primitive di f , è vero che \int f(x)\,dx-\int f(x)\,dx =c ? NI, perché dipende da dove è definita f(x). Per maggiori dettagli su questa faccenda invito a fare riferimento alla discussione che c'è nelle lezioni di Analisi 1 dei vari anni, ad esempio...

Nessuno risponde? Forse ho scritto delle cavolate
Mi piacerebbe sentire la vostra opinione.
Grazie comunque

Indicando con \int f(x)\,dx l'insieme di tutte le primitive di f , è vero che \int f(x)\,dx-\int f(x)\,dx =c ? Credo di sì, visto che \int f(x)\,dx-\int f(x)\,dx= \int [f(x)-f(x)]\,dx= \int 0\, dx=c . Il dubbio viene dal fatto che in alcuni esercizi sull'integrazione per parti che ho avuto modo di l...

Proviamo a rispondere alla bonus question. Supponiamo di aver già dimostrato che la soluzione sia definita per tempi positivi, crescente e non limitata. Osserviamo che \displaystyle u' \ge \frac{\log2016}{\pi/2}=k>1 , da cui integrando u>2016+kt e quindi u-t>2016+ct , c>0 . Questo ci permette di aff...

Provo a rispondere (brevemente) ad alcuni quesiti dell'esercizio 3. Dalla disuguaglianza [tex]\displaystyle\frac{x}{1+x}\le\ln(1+x)\le x[/tex] valida per [tex]x>-1[/tex] e dal teorema dei due carabinieri si deduce che la funzione dell'esercizio tende a [tex]\ln2[/tex] quando [tex]x[/tex] tende a [te...

5 (a) Osserviamo che [tex]x^2<x[/tex] per [tex]0<x<1[/tex] e che [tex]\displaystyle\frac{e^{-t}}{t}>\frac{1}{2t}[/tex] per [tex]0<t<\ln{2}[/tex]. Pertanto: [tex]\displaystyle\int_{x}^{x^2}\frac{e^{-t}}{t}dt=-\int_{x^2}^{x}\frac{e^{-t}}{t}dt<-\int_{x^2}^{x}\frac{1}{2t}dt[/tex] che tende a [tex]-\inft...

Esercizio 7 (c)
Osserviamo che
0 <= n! c_n <= n! min 2^x /(arctan x + x^n) <= n! min 2^x / x^n = n! 2^a/ a^n con a = n/ln 2.

Da cui, passando al limite, si ottiene che n! c_n -> 0

Secondo me quel Teorema non è proprio da considerarsi un "cannone".
E' sicuramente un risultato che permette di risolvere "agevolmente" l'esercizio, quello sì.

ESERCIZIO Consideriamo la successione definita per ricorrenza a_0 = 2008, a_(n+1) = arctan a_n . Studiare la serie SUM (a_n)^alpha, al variare del parametro reale alpha. SOLUZIONE La serie converge per alpha > 2, diverge altrimenti. a_n tende a zero (perchè?). Se dimostriamo che (a_n)^2 / 1/n -> l (...