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Supponiamo di avere una figura \Bbb F nel piano –per semplicità– (y, z); e di ruotarla di un angolo \alpha attorno all'asse (z) . A volte capita che non sia necessario calcolare esplicitamente la coordinata (z) del baricentro; infatti appare evidente per ragioni geometriche. Ad esempio: \Bbb F = \{(...

Quindi per un buon cambio di variabili dovrei avere bene in mente: 1. il dominio di partenza \Bbb V^* : (u ,\ v ,\ w) –lo dovrei conoscere, essendo quello a cui voglio passare– 2. il dominio di arrivo \Bbb V : (x ,\ y ,\ z) –dato dal testo– 3. la funzione \Phi che penso possa andare bene Poi spezzo ...

##Ciò che segue descrive com'è nato il mio dubbio. Eventualmente scrivo la mia vera domanda "in fondo"## Supponiamo di avere il dominio: \Bbb V=\{(x+1)^2+(y-2)^2+(z+3)^2\le1\} e vogliamo calcolare \int_{\Bbb V}1\,dx\,dy\,dz . E' ovvio che un buon cambio di variabili è \Phi:(u,v,w)\rightarrow(x,y,z)...

Massimo Gobbino wrote: ↑

Thursday 21 May 2020, 16:11

Quella non è nemmeno \(C^1\), quindi niente gradiente.

Esatto, ancora peggio: ammetto che mi sono lasciato abbagliare dal fatto che \(\dfrac{y\cdot e^{|y|}}{|y|}\) non si annulla..

Massimo Gobbino wrote: ↑

Thursday 21 May 2020, 14:39

Non mi sembra molto \(C^\infty\) .

Oh no, ho totalmente dimenticato l'ipotesi \(C^\infty\) pensando solo a limiti e gradiente.. mi scusi tanto..

Trovare un esempio \(C^\infty\) sembra tutta un'altra cosa

Massimo Gobbino wrote: ↑

Wednesday 20 May 2020, 18:11

Cosa vedo ... questo è hard hard hard hard hard

Eh già, la mia stupidità mi sorprende alle volte

\(f(x,y) = x^2 - e^{|y|}\) può andar bene come contro-esempio?

Data f:\Bbb R^2 \to \Bbb R, f \in C^\infty tale che: \lim_{x\to+\infty}f(x,y_0) = \lim_{x\to-\infty}f(x,y_0) = +\infty \qquad \forall y_0\in \Bbb R, \\[2ex] \lim_{y\to+\infty}f(x_0,y) = \lim_{y\to-\infty}f(x_0,y) = -\infty \qquad \forall x_0\in \Bbb R. Determinare se f(x,y) ha necessariamente un pun...

Buongiorno, innanzitutto grazie per la risposta! a) In effetti avevo dato per scontato che y=0 \Rightarrow x=0 … invece devo sempre indicare i punti che trovo, poi eventualmente faccio dei ragionamenti. c) Ammetto che non ho considerato ESPLICITAMENTE i due casi: ho pensato che \lambda = 0 \Rightarr...

Buongiorno a tutti, stavo cercando di risolvere un'esercizio a pag.67 dell'eserciziario: f(x,y) = \frac{xy}{15+x^{2} \cdot y^{2}}, \; sul dominio \Bbb D = 0 \le y \le 5 - x^{4} \ . 1. La funzione è regolare; 2. Il dominio è (chiuso e) limitato \rightarrow COMPATTO; Allora MAX, min, esistono. +PUNTI ...

Esempio: f(x,y) = \begin{cases} xy\left(\dfrac{x^2-y^2}{x^2+y^2}\right)\qquad & \text{se $(x,y)\neq(0,0)$}, \\ 0\ & \text{se $(x,y)=(0,0)$}. \end{cases} Se calcolo le derivate utilizzando le "regole": \dfrac{\partial f(x,y)}{\partial x}=\dfrac{x^4y+4x^2y^3-y^5}{(x^2+y^2)^2} \dfrac{\partial f(x,y)}{\...

Posso chiedere come è stata ottenuta l'ultima stima?
Ho provato con un semplice studio di funzione:
\(xy = t\) \(\quad \Rightarrow \quad\) \(\left|\frac{t}{1+t^2}\right| \le \frac{1}{2}\) \(\;\) \(\forall t \in \Bbb R\)
Oppure c'è un altro metodo che utilizza il fatto che siamo nel terzo dominio?

Buongiorno professore, scusi per il ritardo, ma non avevo visto che avesse risposto... :? Comunque, continuando a pensarci, forse ho trovato una soluzione, gliela mostro: \displaystyle\frac{\log{(x^2+e^{|x|+|y|})}}{x^2y^2+|x|+|y|} = \frac{\log{(e^{|x|+|y|}(1+x^2e^{-|x|-|y|})})}{x^2y^2+|x|+|y|} = \fr...

A pag. 72 dell'eserciziario c'è questo limite: \displaystyle\lim_{x^2+y^2 \to +\infty}\frac{\log\left(x^2+e^{|x|+|y|}\right)}{x^2y^2+|x|+|y|} Ho idea che nel dominio D=[1, +\infty) \times [1, +\infty) tenda a ZERO; ma ogni stima che riesco a fare si conclude con f(x,y) \le g(x,y) , g(x,y) \to 1 . Qu...