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Per rispondere all'ultima domanda, credo che l'esponente critico non garantisca compattezza. Per mostrarlo forse si può fare così: se esiste una funzione u tale che \|u\|_2=\|\nabla u\|_2 Penso proprio di sì, dovrebbe essere il primo autovettore del laplaciano, o comunque il minimo che appunto real...

Massimo Gobbino wrote: ↑

Saturday 15 January 2022, 19:27

Il raggio critico è leggermente più delicato. Perché? Da quale parte sta?

Il vincolo diventa \(0\leq \|\nabla u \|_{L^2}^2-\|u \|_{L^2}^2 \leq 2\). Questo mi fa pensare che quantomeno l'insieme sia limitato, in \(L^2\), dato che ho anche un bound dal basso.

Ho un sacco di dubbi per quanto riguarda l'esercizio 3: Il punto (a) mi sembra abbastanza liscio, troviamo che per p<2 l'insieme non è limitato in L^1(B) quindi figuriamoci negli altri. Per quanto riguarda il punto (b) l'idea è usare ovviamente i teoremi di immersione compatta; il p che ha p^*=7 è 2...

Studente1 wrote: ↑

Thursday 13 January 2022, 21:17

Nella pdf da te postato hai invertito i due lambda ecco spiegato perchè veniva positivo.

Caspiterina è vero , correggo il file; grazie mille.

Basandomi sulla soluzione scritta da te nel punto a), viene fuori che l'integranda è positiva nell'intervallo (0,1) e dunque l'integrale è maggiore uguale di zero (ovviamente se non ho sbagliato 1) a leggere la tua soluzione del punto a 2) a controllare senza rifare i conti la funzione all'interno ...

da cui segue che deve valere u(x)=0 . u(x)=0 soddisfa la BC del punto a) ma abbiamo già visto nella risoluzione che l'unico punto di minimo è *inserire quello trovato al punto a)*. Assurdo" Ad esempio credo che nel punto (a) se metti un qualcosa tipo -\frac{1}{m}x^n scegliendo bene m ed n esce un n...

Dovresti, per concludere, dimostrare che F(minimo trovato nel punto (a)) faccia zero. Perché se fa un numero negativo non puoi concludere

Allego il mio tentativo di soluzione dell'esercizio 1. A "breve" (i.e se non mi inceppo ) proverò a postare gli altri

Lunedì rimane tutto confermato?

Quindi arrivati qui come si può mostrare l'unicità? Bisognerebbe mostrare in qualche altro modo che la lagrangiana è strettamente convessa? Se si, come? Applicando la definizione? Anche perché poi vorrei anche mostrare che ogni soluzione è punto di minimo, quindi la stretta convessità o qualcosa ch...

Finita la SCI, abbiamo l'esistenza di almeno un punto di minimo. Qualcuno si è avventurato a dire ora che è unico, calcolando matrici Hessiane e dicendo che erano definite positive per s>0, ma tanto la soluzione sta lì perché altrimenti nulla ha senso. Penso di aver commentato già a sufficienza su ...

Scusa se rispondo solo adesso ma ero al lavoro. Spero che di non aver fatto errori di conto, ma provo a tornare alla mia idea iniziale. Prendiamo questa funzione u(x,y,z)=\frac{c}{(x^2+y^2+(z-1)^2)^{\alpha}}+d . Spostando la singolaritá sul bordo guadagno la regolaritá sulla palla che volevo. Detto...

stefanini.m wrote:Si ma una volta che hai che sta in \(\mathcal{W}^{1,p}\) approssimi \(C^{\infty}\) e stai attento a sistemare i vincoli con le approssimanti.

Quindi poi più o meno è come avevo proposto io?

Secondo me fai prima a esibire direttamente una u che funziona. Provo a darti un int: cerca una funzione radiale tipo u(x)=\frac{c}{|x|^\alpha}+d . Buon lavoro nel sistemare l'esponente in modo che stia in \mathcal{W}^{1,p} ma non in \mathcal{L}^5 . c e d li usi per sistemare le condizioni al bordo...

Dubbio sul punto B dell'esercizio 3 del secondo appello, ho pensato ad una soluzione simile: Prendo un p in modo tale che W^{1,p} non si immerge in L^5 , allora esiste una funzione f che ha norma p finita ma norma 5 infinita (Qualcuno che mi può dare un esempio di una tale funzione?). Ora questa f n...