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Direi di sì, con dimostrazione simile a quella del teorema di approssimazione di operatori compatti in Hilbert (separabili), sempre della lezione 49: in quel caso avevamo f operatore compatto e dimostravamo che le p_n f lo approssimano uniformemente sui limitati. Il punto chiave era che dato un limi...

Forse ci sono, presa una qualunque u_n di quelle (chiamiamola u per semplicità), si ha u \Delta u = uf , ora si integra su \Omega ottenendo |\int_{\Omega} u \Delta u \, dx| = |\langle u,f \rangle| \leq ||u||_{L^2(\Omega)} \cdot ||f||_{L^2(\Omega)} \leq c || \nabla u ||_{L^2(\Omega)} \cdot M = M' || ...

in dimensione 1 direi innanzitutto che le u_n per immersione sono 1/2-holderiane, quindi nulle al bordo dato che sono H^1_0 . Poi la stima L^2 sulle \ddot{u}_n mi dice che le u_n stanno anche in H^2 , e quindi le \dot{u}_n stanno in H^1 , dunque anche loro sono 1/2-holderiane. La stima sulle derivat...

Alla fine della lezione 48 abbiamo visto l'esempio dell'operatore A:L^2(\Omega) \rightarrow L^2(\Omega) che ad una f \in L^2(\Omega) associa l'unica u \in H^1_0(\Omega) che è soluzione debole di \Delta u = f . A questo punto se \Omega è limitato, per mostrare la compattezza di A vorrei usare l'immer...

In questo teorema l'ipotesi di convergenza uniforme sui limitati è veramente necessaria, ad esempio in un Hilbert le proiezioni \(p_n\) sui sottospazi \(span(e_1,...,e_n)\) sono compatte, tendono all'identità solo puntualmente, ed infatti l'identità non è compatta, corretto?

Non ho ben capito questo ragionamento sul 4b della christmas edition, se f \in W^{25,12}(\mathbb{R}^{2018}) allora Tr(f) \in W^{24,q}(\mathbb{R}^{2017}) dove q\in [ 12 ;\frac{12(2018-1)}{2018-12} ] (usando lo stesso argomento usato in classe per le C^\infty_c controllo le norme delle derivate con le...

Sì, forse non mi ero spiegato bene, volevo dimostrare per assurdo che l'1-extender non esiste, altrimenti per immersione l'estesa sta in \(W^{1,6}\), che è assurdo dato il suo comportamento nell'origine.

Credo di aver capito l'idea per il punto (k): ruotando in quel modo e considerando come funzione l'angolo \theta delle coordinate polari, sul semipiano di destra, vicino all'origine, passando da una parte all'altra della cuspide la funzione ha un salto. Provando a fare i conti aggiusto un po' la fun...

Faccio un breve riassunto sulla casistica della terza scheda degli esercizi sugli 1-extender da aperti \Omega a \mathbb{R}^2 , vediamo se ho ragionato bene: Esercizio 1 (a) \Omega = quadrato. E' l'estensione del Brezis, ricordata nel primo commento del post. (b) \Omega = triangolo. L'estensione esis...

E' vero!! Grazie mille

Dopo aver definito le \(\theta_i(x)\) perché ricorriamo a quella definizione induttiva delle \(\psi_i(x)\) invece che definirle semplicemente come nella prima partizione dell'unità (lez.27)? Non riesco a trovare l'inghippo, qui il ricoprimento è addirittura finito...