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Una possibilita' allora e' che detto l(x,y) la lunghezza dell'intervallo massimo (a,b) tale che (x,y,z) \in \Omega per ogni z \in (a,b) e P(l(x,y)) la costante associata, si abbia P(l(x,y)) integrabile. Un tipo di insiemi per cui succede dovrebbero essere quelli che per cui gli intervalli (a,b) hann...

Comunque, prova a fare così, dovrebbe tornare: \phi_{n}(x)=n \phi(n^{\alpha}x) . Riscrivi tutto cambiando variabili, ponendo y=n^{\alpha}x . A quel punto, il dominio in pratica rimane lo stesso (perché tanto u ha supporto compatto) e dal cambio di variabili ti nasce un termine \frac{1}{n^{2 \alpha}...

Per la disuguaglianza alla Poincare',in questo caso particolare dipendeva dal fatto che il dominio era del tipo A \times (a,b) . Non mi vengono in mente generalizzazioni vere.Una riformulazione possibile di quello che vogliamo e' che il dominio \Omega dovrebbe essere tale che per ogni (x,y ) nella p...

Salve, provo allora a ripostare la soluzione del punto b) del terzo esercizio dello scritto di Natale. Si ha che \displaystyle F(u) \geq\int_{(-1,1)^2} dx dy \int_{(-1,1)} |u_z|^{2018}-|u|^{2000}dz . In particolare, se mostriamo che il funzionale \displaystyle g(u)=\int_{(-1,1)}u'^{2018}-u^{2000} ha...

Provo a rispondere alla domanda. Se ho capito ci si chiede se ha senso/si puo' studiare il problema di minimo relativo ad F(u) in W^{1,3/2} . Non vorrei star commettendo errori marchiani, ma mi verrebbe da dire si': i termini nell'integrale hanno tutti valore positivo e quindi l'integrale ha senso a...

Salve, ho provato a fare il primo esercizio ed in particolar modo ad applicare il metodo diretto ma non riesco a concludere:il problema l'ho riformulato come \min F(u) \ \ \{u \in H^1(\Omega) \ | \ tr(u)=1 \} (eventualmente ammettendo che $F$ assuma il valore + \infty ). In primo luogo, ELE dovrebbe...

Sisi adesso mi torna grazie mille,stavo sbagliando proprio ad impostare le condizioni necessarie.

Salve, non mi tornano i coefficienti necessari ad ottenere una 2 estensione per i cilindri. Per dirla meglio, a lezione avevamo visto che definendo Eu(x,y)=u(x,y) \ \ x \geq 0 \ \ au(-x)+b(-2x) \ \ x < 0$ $, si otteneva una 2 estensione per a=3,b=-2. Ho provato a fare il conto in maniera piu' esplic...