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Per quanto riguarda il punto c: EDIT : Ho cancellato la prima parte, pura farneticazione. Risoluzione punto c) esercizio : Sia Y= \{u \in H^1: u soddisfa le BC \} . Sia F'_{\epsilon}:= \int_0^1 (\epsilon^2u'^{4}- \epsilon u'^2)+\epsilon u^2 in H^1 . Sia m'_\epsilon=inf\{F'_\epsilon: u \in Y\} . Si v...

Grazie anche qui! Alla fine ero riuscito a farlo utilizzando proprio quella stima...(mi scuso per non aver scritto nulla).

Grazie! Rispondo intanto ai primi 2 punti: a) L'inf è sempre reale perché la lagrangiana è limitata dal basso dalla funzione Ap^2-B+s^2 \geq -B per un certo A \in R, >0. b) Se per assurdo ci fosse un punto di minimo u_0 allora la sua derivata si annullerebbe in un certo x_0 perché altrimenti la funz...

Grazie mille! Non riesco a capire come sia riuscito a scrivere così tante fesserie. Per mostrare che che inf di \int_0^1 v^2-v'^2 con DBC è - \infty basta in effetti anche osservare che: Prendo v \in C^1 nulla al bordo e negativa e tale che \int_0^1 v_n^2-v'^2_n è minore di 0. Si osserva quindi che ...

Grazie! Provo a scrivere la soluzione: Ricordo che X=u \in H^{2,2}: u(0)=1, u'(0)=1 . G_\epsilon= \int_{0}^{1} \epsilon u''^2 +cos{u'}+cos{u}\, dx se u \in C^2:u(0)=1, u'(0)=1 e + \infty altrimenti(in L^2 meno questo spazio). Si vuole dimostrare che il gamma limite dei G_\epsilon è F(u):= \int_{0}^{...

Mi sembra di aver trovato un'osservazione utile per la risoluzione del punto b). Intanto provo a rispondere al punto a): Innanzitutto si mostra che per ogni funzione u \in C^1(0,1) che rispetta le DBC \int_0^1 -u'^2+u^{2}\,dy \geq 0 : 1) Si mostra che esiste u_0 soluzione di Ele con quei dati al bor...

Mi sa che devo imparare a scrivere le cose per bene prima di parlare

Non vorrei dire una fesseria, ma credo non ci sia bisogno di riscalamento, in quel caso. Mi sembra che il funzionale gamma converge in L^2 al funzionale senza il termine con la \epsilon . Più tari provo a e verificarlo e in caso ti faccio sapere. EDIT: Qui ho sicuramente detto una fesseria, ci penso...

Ciao! Per quanto riguarda la prima domanda mi sembra che basti osservare che la lagrangiana ha crescita sopraquadratica: \exists A \in \mathbb{R}, A>0, B \in \mathbb{R} tali che \epsilon p^4-p^2\geq Ap^2-B . Da qui dovresti concludere la Sci! L'altro punto non l'ho ancora visto ( e in realtà non son...

Grazie mille, sei stato chiarissimo!

Adesso dovrei solo cercare di capire come fare (davvero ) l'esercizio.

Salve Professore...a quanto pare ho sbagliato tutto :roll: E il fatto di non capire bene dove sta la falla nel mio ragionamento mi preoccupa abbastanza. Scrivo la mia dimostrazione, sperando di capire dove stanno i problemi: Supponiamo di aver dimostrato la parte a) , ovvero che m_\epsilon è ben def...

Salve a tutti, Avrei una domanda relativa al quarto esercizio di questo scritto d'esame: Ho dimostrato - sperando di non aver sbagliato - che la famiglia di funzionali G_\epsilon(u)=\int_0^1 \epsilon {u''}^2+\cos(u')+\cos(u) dx dove u varia in X=\{u \in H^{2,2}:u(0)=1,u'(0)=1\} gamma converge (per \...

Ops, non riesco proprio a farcela

Ha ragione, l'implicazione è \(J^+ \Rightarrow L\).

In effetti non ho ancora risolto il caso critico (ci proverò al più presto).

Grazie!

Grazie a entrambi!