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Per non sporcarla dovresti stimare la norma della funzione con la sola norma della derivata; in generale, senza ipotesi aggiuntive, questo è impossibile (pensa a una funzione costante)

Riprendendo queste cose in mano per un altro esame :lol: mi è venuta in mente un'osservazione banale: nella lezione 47 dimostriamo che compatto + simmetrico => continuo WS. Ma questa cosa è vera anche per operatori (compatti) non simmetrici! Infatti nella dimostrazione basta prendere f^* al posto di...

Prima di svolgere un esercizio, un suggerimento sempre valido è quello di fermarsi un attimo a guardare cosa si ha davanti. C'è un e^{x^2} che diverge con prepotenza (neanche è limitato)! Come si aggiusta questa osservazione? Ci mettiamo in una fascia orizzontale, ad esempio 1\leq y\leq 2 , in modo ...

Lorececco wrote:Potrebbe essere l'implicazione 2 => 3? Perché il contenimento tra intersezione di chiusure e chiusura di intersezione sembra opposto a quello che ci servirebbe, o sbaglio?

Questa è una sciocchezza totale: \(B_W\) è aperto in \(W\), per cui la densità funziona.

Nell'enunciato all'inizio della lezione 44 sulla regolarità fino al bordo, non bisogna assumere \Omega limitato La limitatezza direi che basta del bordo, ma occorrerebbe controllare bene i passaggi. Ops, mea culpa :roll: in effetti il passaggio che mi sembrava desse problemi è del tutto innocuo :lo...

Massimo Gobbino wrote:Qualcuno vede problemi all'inizio della lezione 66 ?

Potrebbe essere l'implicazione 2 => 3? Perché il contenimento tra intersezione di chiusure e chiusura di intersezione sembra opposto a quello che ci servirebbe, o sbaglio?

Io ho alcuni appunti sulla parte di regolarità: Nell'enunciato all'inizio della lezione 44 sulla regolarità fino al bordo, non bisogna assumere \Omega limitato e A\in C^1(\bar\Omega) ? Nella caratterizzazione delle derivate discrete si suggerisce di dimostrare 1 => 2 mimando le convoluzioni: ma non ...

Domanda 2. Come già osservato in un altro topic, ogni funzione in W^{1,1} è almeno L^{1+\varepsilon} , e questo sistema le cose. Domanda 3. Devo solo dimostrare che u è Lipschitz (la stima in L^\infty è facile :D). Per ogni coppia di punti x,y fisso una palla B che li contiene entrambi. Allora qui l...

Buongiorno,

quando si terranno gli orali rimanenti nel caso in cui la giornata di lunedì non bastasse?

Rispondo alla domanda 1. La definizione ricorsiva non mi pare dia problemi (anzi si possono fare pure transfinite :lol:); immagino che dunque la domanda sia: alla fine, gli aperti risparmiosi ricoprono? Questo è vero e segue dalla puntuale finitezza del ricoprimento originale: se infatti esiste un x...

Nella lezione 27, per quale motivo le \(u_\varepsilon=\hat u*\rho_\varepsilon\) dovrebbero avere supporto compatto? Non dovrei prima sistemare il supporto limitato, come nella dimostrazione dell'approssimazione deluxe in \(\mathbb R^d\)?

Ops :oops: :oops: in effetti g non può essere orribile, perché altrimenti lo sarebbe pure f. Allora qualche speranza c'è (che l'enunciato sia vero). Forse con i sempiterni rapporti incrementali? Sembrano lo strumento adatto, eppure se vogliamo restare a livello di L^1_{loc} la mancata compattezza d...

dovrebbe essere vero (esercizio :mrgreen: ) che se esiste u_{xx} allora per forza esiste u_x . In effetti è falsissimo :lol: . Basta pensare a roba del tipo u(x,y)=xg(y), con g orribile :D . Quanto orribile? Perché a occhio se g\in L^1_{loc} la derivata in x esiste ed è proprio g! (L'altra è zero)

Grazie della risposta. Se le derivate deboli esistono tutte continue la funzione è C^1 , perché la low cost converge uniformemente. Per l'altra questione ho dei problemi... ho pensato di prendere le primitive rispetto a x delle approssimanti low cost di u_{xx} e di dimostrare che sono di Cauchy in u...

In dimensione uno vale il discorso che le funzioni derivabili debolmente sono primitive delle proprie derivate deboli, e che dunque se u' è continua u\in C^1 . Abbiamo detto che in dimensione più alta non vale questo fatto, però non mi sono chiare alcune cose: - il problema è dovuto alla definizione...