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To cut a long story short, è la Proposizione di Lezione 69 nel caso \(s=1\).

A lezione abbiamo definito il Laplaciano di Dirichlet A:D(A)\to \textrm{L}^2((0,\pi)) come ''meno l'inverso'' di un opportuno operatore I di moltiplicazione con autovalori \lambda_n=-\frac{1}{n^2} e autovettori la base e_n(x)= \sqrt{\frac{2}{\pi}}\sin (nx) , ovvero Au=-\ddot{u}, con dominio \textrm{...

Funziona! Non avevo intrapreso quel conto perché mi ero convinta in partenza che non fosse utile, e invece
Grazie mille!

Lezione 46, teorema di regolarità fino al bordo per aperti regolari. Non mi sembra immediata l'applicazione delle partizioni dell'unità per ridurre il problema al caso modello del semispazio. Cerco di spiegarmi. Sappiamo che u risolve per ogni \varphi\in C^{\infty}_c(\Omega) -\int_{\Omega} <Du,D\var...

Io direi così (spero di non star prendendo un granchio pauroso) applicando la disuguaglianza di Holder con esponente \frac{p_*}{q}>1 : ||u||_{\textrm{L}^q(\Omega)}^q \leq \left( \int_{\Omega} |u(x)|^{p_*}dx\right)^{\frac{q}{p_*}}\cdot \textrm{meas}(\Omega)^{1-\frac{q}{p_*}} \leq ||u||_{\textrm{L}^{p...

Lezione 42. Primissima pagina. Dimostrazione della PSW per immersione. La prima disuguaglianza per q<p_* ||u||_{\textrm{L}^q(\Omega)}\leq c(p,d,\Omega) ||u||_{\textrm{L}^{p*}(\Omega)} secondo me segue più semplicemente per limitatezza di \Omega ... (probabilmente dire per interpolazione è solo un al...

Lezione 44, prima facciata. La condizione (iv) è che \(u\) sia soluzione debole di

\(-\int_{\Omega}<A(x)Du,D\varphi> dx = \int_{\Omega} f\varphi\, dx \)

giusto?

Ciao a tutti, qualcuno si è chiesto cosa succede quando definiamo la traccia per p=d nel caso base del semispazio? Cambia qualcosa? Che sommabilità ottengo? Ho fatto alcune osservazioni. Riferendomi alla lezione 37 (19/20): la stima (1) della Proposizione continua a valere, quindi la traccia come op...

Lezione 42, ultima pagina. L'ultimo integrale non converge: sostituendo \(y = \log x\) troviamo

\(\displaystyle\int_{-\infty}^0 |y|^{-\frac{3}{2}}dx\), che ha un bel problema in \(0\)

Sto cercando un altro controesempio, ma nel frattempo glielo segnalo...

Grazie!! La mia confusione nasceva dal fatto che non riuscivo a spiegarmi come mai una procedura così 'innocua' e versatile come quella delle partizioni di tipo A potesse ad un certo punto non funzionare più. La risposta che mi sono data è che nelle partizioni di tipo B il sottoricoprimento degli \h...

Ora se ci mettiamo nei punti che stanno solo in A_{37} (e questi punti ci possono essere), allora la costruzione della lezione 27 porterebbe ad avere ψ_{37}(x)=1 in tutti questi punti, finendo addirittura per creare delle discontinuità sul bordo di A_{37} che affaccia sul nulla. Penso si possa riso...

Non c'è infatti nemmeno sui limitati. Ad esempio su \(B=\{x_m\}\) la successione

\(\sup_B ||f_{\infty}(x)-f_n(x)||_W = \sup_{m>n} ||y_m||_W \)

non può tendere a \(0\) per \(n\to \infty\), perché questo implicherebbe \(y_n\to 0\).

Ho provato a sistemare l'Esempio delineato per step a fine Lezione 36/19-20 o 43/20-21: immersione_non_compatta.pdf Secondo me l'unica difficoltà dell'esercizio è fare correttamente la derivata della funzione composta e il cambio di variabile nell'integrale d -dimensionale. Dovrei motivare il fatto ...

Mi riferisco a quello di pagina 5. Mi ero stupita che non fosse nemmeno menzionata (forse a parole nel video) la compattezza delle approssimanti, sebbene sia un fatto tranquillo da dimostrare. Comunque ha risposto alla prima domanda! La seconda domanda (non riesco a mettere il numero 2. al posto del...

Rispondo a questo post per sollevare due dubbi riguardo all'approssimazione di op. compatti nel caso generale, quello di operatore compatto fra spazi normati. Nella dimostrazione del Corollario 1, Lezione 49/19-20: [+] quando dimostriamo che le f_n sono operatori compatti? Io credo si debba fare a p...