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Semplicemente qui hai più ipotesi, infatti stiamo dicendo che se la coppia (x_n,f(x_n)) \to (x_{\infty},y_{\infty}) allora y_{\infty}=f(x_{\infty}) , cioè abbiamo un’ipotesi sulla coppia, in particolare sappiamo già che le immagini convergono a qualcosa. Nel caso della definizione di continuità (val...

Riguardo all’ultima domanda che ho fatto mi sono accorto che non è difficile e purtroppo me ne accorgo solo ora, comunque se le norme sono \(||\cdot||_1\) e \(||\cdot||_2\) allora la mappa che manda \(x\) in \(x \cdot ||x||_1/||x||_2\) se \(x \neq 0\) e che manda zero in zero dovrebbe andare bene..

Non so se è ho capito bene il tuo dubbio, comunque la chiusura di \(f_n(A)\) è compatta e quindi totalmente limitata, d’altra parte un insieme è totalmente limitato se e solo se lo è la sua chiusura e quindi anche \(f_n(A)\) è totalmente limitata..

Provo a dire qualcosa, il problema secondo me è che i punti P,Q che minimizzano in norma p non è detto che minimizzino anche in norma 2 . Di conseguenza quando usi la regola del parallelogramma non si può dire che ||P-x_0||_2 = D_2 dove D_2=\min\{||Z-x_0||_2 : Z \in K\} perché sappiamo solo che ||P-...

Ciao! Non mi tornano le ultime due righe, ad esempio se prendo x_0=0 ho che tutti i punti di K sono di minimo. L’esempio si dovrebbe sistemare prendendo K=\{(1+1/n)e_n\}_n e considerando sempre x_0=0 , ti convince? In ogni caso non sto dicendo che il tuo esempio non va bene, ma che quanto scritto ne...

Avevo risposto di fretta, ci penso un altro po’..

Sì, pensavo alla versione iterata del teorema in alto a lezione 44.

Per prima cosa il fatto che il seno sia Lipschitz non mi sembra bastare per dire che se u \in H^2(\mathbb{R}^d) allora anche \sin u \in H^2(\mathbb{R}^d) .. Per quanto riguarda il resto se chiamiamo g(x,y,z)=u(x,y,z)^{8102} abbiamo per esempio che \displaystyle D_{x,x} g = 8102 \cdot 8101 u^{8100} \...

Il seno è Lipschitz

I termini che danno fastidio dovrebbero essere (D_{x_i}u)^2 perché a priori stanno solo in L^1 , ma il fatto che \Omega sia decente dovrebbe dirci ad esempio che D_{x_i}u \in L^6 ? Di conseguenza avremmo che (D_{x_i}u)^2 \in L^3 e dunque in L^2 perché l'insieme ha misura finita. Una volta che otteni...

Perché se ho convergenza in \(L^p\) a meno di sottosuccessioni ho convergenza quasi ovunque (questo sì) e dominata di \(L^p\)?

Se non ricordo male segue dalla dimostrazione che esiste la sotto che converge quasi ovunque, comunque provo a ricordarmela e poi a postarla!

Provo a rispondere a un altro paio di punti. Per la semicontinuità della parte di funzione possiamo usare Fatou perché se u_n \to u_{\infty} in L^2 abbiamo una sottosuccessione u_{n_k} che converge quasi ovunque. Di conseguenza anche u_{n_k}^{8102} \to u_{\infty}^{8102} quasi ovunque e ora possiamo ...

Per quanto riguarda il troncamento supponiamo che lo vogliamo fare solo dall'alto allora la funzione troncata ad altezza M sarà il minimo puntuale tra la funzione e M. Ma ora 2\min\{u(x), M\}=u(x)+M - |u(x) - M| quindi sfruttando il fatto che il modulo di Sobolev è Sobolev otteniamo che la troncata ...

Ciao! Il funzionale G(u) è continuo ad esempio perché è composizione di funzioni continue, in particolare è la norma (L2) al quadrato di una traslazione.. In uno spazio normato la norma è sempre una funzione continua per via della disuguaglianza triangolare

Ciao! Provo a risponderti io :) Partiamo con due parole sulla continuità in una variabile uniforme rispetto all'altra. Sia f(x,y) \colon A \times B \to \mathbb{R} con A \subset \mathbb{R}^n, \ B \subset \mathbb{R}^m diciamo che f è continua in x uniformemente in y se \forall x \in A \ \forall \varep...