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Per valori di x negativi la funzione è negativa, dunque basta dimostrare che f'(x)>0 per valori di x positivi, e da questo segue che la funzione è strettamente crescente nell'intervallo [0,+oo] (monotonia 2). Giusto?

Cerco i valori per cui si annulla, così da verificare o meno che si annulla sporadicamente e che quindi è strettamente crescente....mi sbaglio? Non devo usare monotonia 3?

I messaggi sono datati ma provo comunque a scrivere nella speranza che qualcuno risponda.

La derivata non è arctan(e^x)+ x*e^x /(e^(2x)+1) ? E comunque anche io ho problemi a studiarla.

Non c'è bisogno di trovare il punto di minimo, l'importante è dimostrare che c'è. La traccia ti chiede di determinare se esistono λ<0 per cui l'equazione ha almeno due soluzioni e se esistono λ<0 per cui l'equazione non ha soluzioni.